Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4041 / 1991
↖ ↑ ↗
← N 67.491751°
W  2.416992°		 ← 1 870.63 m → N 67.491751°
W  2.373047°		 →
↑
1 871.29 m
↓
↑
1 871.29 m
↓
N 67.474922°
W  2.416992°		 ← 1 871.96 m →
3 501 732 m²		 N 67.474922°
W  2.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49334716796875 y=0.24310302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49334716796875 × 213)
    floor (0.49334716796875 × 8192)
    floor (4041.5)     		tx = 4041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24310302734375 × 213)
    floor (0.24310302734375 × 8192)
    floor (1991.5)     		ty = 1991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4041 / 1991 ti = "13/4041/1991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4041/1991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4041 ÷ 213
    4041 ÷ 8192     		x = 0.4932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1991 ÷ 213
    1991 ÷ 8192     		y = 0.2430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04218447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2430419921875 × 2 - 1) × π
    0.513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04218447} λ = -0.04218447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61451477920349))-π/2
    2×atan(5.02544887947106)-π/2
    2×1.37437480274595-π/2
    2.74874960549191-1.57079632675     		φ = 1.17795328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04218447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.416992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17795328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.491751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4041 KachelY 1991 -0.04218447 1.17795328 -2.416992 67.491751
    Oben rechts KachelX + 1 4042 KachelY 1991 -0.04141748 1.17795328 -2.373047 67.491751
    Unten links KachelX 4041 KachelY + 1 1992 -0.04218447 1.17765956 -2.416992 67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 4042 KachelY + 1 1992 -0.04141748 1.17765956 -2.373047 67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17795328-1.17765956) × R
    0.000293720000000164 × 6371000     		dl = 1871.29012000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17795328-1.17765956) × R
    0.000293720000000164 × 6371000     		dr = 1871.29012000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04218447--0.04141748) × cos(1.17795328) × R
    0.000766990000000002 × 0.382816434804641 × 6371000     		do = 1870.62993997461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04218447--0.04141748) × cos(1.17765956) × R
    0.000766990000000002 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 1871.95578826331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17795328)-sin(1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382816434804641-0.383087763999222)×R²
    abs(-0.04141748--0.04218447)×0.000271329194580894×R²
    0.000766990000000002×0.000271329194580894×6371000²
    0.000766990000000002×0.000271329194580894×40589641000000     		ar = 3501731.87343045m²