Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40401 / 9747
↖ ↑ ↗
← N 77.443358°
E 41.929321°		 ← 132.79 m → N 77.443358°
E 41.934814°		 →
↑
132.77 m
↓
↑
132.77 m
↓
N 77.442164°
E 41.929321°		 ← 132.80 m →
17 631 m²		 N 77.442164°
E 41.934814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616477966308594 y=0.148735046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616477966308594 × 216)
    floor (0.616477966308594 × 65536)
    floor (40401.5)     		tx = 40401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148735046386719 × 216)
    floor (0.148735046386719 × 65536)
    floor (9747.5)     		ty = 9747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40401 / 9747 ti = "16/40401/9747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40401/9747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40401 ÷ 216
    40401 ÷ 65536     		x = 0.616470336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9747 ÷ 216
    9747 ÷ 65536     		y = 0.148727416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616470336914062 × 2 - 1) × π
    0.232940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73180471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148727416992188 × 2 - 1) × π
    0.702545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20711073230663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73180471} λ = 0.73180471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20711073230663))-π/2
    2×atan(9.08941665994407)-π/2
    2×1.46121895460616-π/2
    2.92243790921232-1.57079632675     		φ = 1.35164158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73180471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.929321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35164158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.443358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40401 KachelY 9747 0.73180471 1.35164158 41.929321 77.443358
    Oben rechts KachelX + 1 40402 KachelY 9747 0.73190058 1.35164158 41.934814 77.443358
    Unten links KachelX 40401 KachelY + 1 9748 0.73180471 1.35162074 41.929321 77.442164
    Unten rechts KachelX + 1 40402 KachelY + 1 9748 0.73190058 1.35162074 41.934814 77.442164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35164158-1.35162074) × R
    2.08399999999109e-05 × 6371000     		dl = 132.771639999433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35164158-1.35162074) × R
    2.08399999999109e-05 × 6371000     		dr = 132.771639999433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73180471-0.73190058) × cos(1.35164158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217404664774796 × 6371000     		do = 132.788110385392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73180471-0.73190058) × cos(1.35162074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217425006267294 × 6371000     		du = 132.800534720234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35164158)-sin(1.35162074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217404664774796-0.217425006267294)×R²
    abs(0.73190058-0.73180471)×2.03414924983825e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03414924983825e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03414924983825e-05×40589641000000     		ar = 17631.3199885208m²