Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40401 / 9746
↖ ↑ ↗
← N 77.444552°
E 41.929321°		 ← 132.78 m → N 77.444552°
E 41.934814°		 →
↑
132.77 m
↓
↑
132.77 m
↓
N 77.443358°
E 41.929321°		 ← 132.79 m →
17 630 m²		 N 77.443358°
E 41.934814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616477966308594 y=0.148719787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616477966308594 × 216)
    floor (0.616477966308594 × 65536)
    floor (40401.5)     		tx = 40401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148719787597656 × 216)
    floor (0.148719787597656 × 65536)
    floor (9746.5)     		ty = 9746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40401 / 9746 ti = "16/40401/9746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40401/9746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40401 ÷ 216
    40401 ÷ 65536     		x = 0.616470336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9746 ÷ 216
    9746 ÷ 65536     		y = 0.148712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616470336914062 × 2 - 1) × π
    0.232940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73180471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148712158203125 × 2 - 1) × π
    0.70257568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20720660610587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73180471} λ = 0.73180471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20720660610587))-π/2
    2×atan(9.09028813862746)-π/2
    2×1.46122937582402-π/2
    2.92245875164804-1.57079632675     		φ = 1.35166242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73180471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.929321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35166242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.444552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40401 KachelY 9746 0.73180471 1.35166242 41.929321 77.444552
    Oben rechts KachelX + 1 40402 KachelY 9746 0.73190058 1.35166242 41.934814 77.444552
    Unten links KachelX 40401 KachelY + 1 9747 0.73180471 1.35164158 41.929321 77.443358
    Unten rechts KachelX + 1 40402 KachelY + 1 9747 0.73190058 1.35164158 41.934814 77.443358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35166242-1.35164158) × R
    2.0840000000133e-05 × 6371000     		dl = 132.771640000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35166242-1.35164158) × R
    2.0840000000133e-05 × 6371000     		dr = 132.771640000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73180471-0.73190058) × cos(1.35166242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217384323187877 × 6371000     		do = 132.77568599288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73180471-0.73190058) × cos(1.35164158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217404664774796 × 6371000     		du = 132.788110385392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35166242)-sin(1.35164158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217384323187877-0.217404664774796)×R²
    abs(0.73190058-0.73180471)×2.03415869186874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03415869186874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03415869186874e-05×40589641000000     		ar = 17629.6703858457m²