Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40399 / 9749
↖ ↑ ↗
← N 77.440969°
E 41.918335°		 ← 132.83 m → N 77.440969°
E 41.923828°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
N 77.439775°
E 41.918335°		 ← 132.84 m →
17 645 m²		 N 77.439775°
E 41.923828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616447448730469 y=0.148765563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616447448730469 × 216)
    floor (0.616447448730469 × 65536)
    floor (40399.5)     		tx = 40399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148765563964844 × 216)
    floor (0.148765563964844 × 65536)
    floor (9749.5)     		ty = 9749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40399 / 9749 ti = "16/40399/9749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40399/9749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40399 ÷ 216
    40399 ÷ 65536     		x = 0.616439819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9749 ÷ 216
    9749 ÷ 65536     		y = 0.148757934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616439819335938 × 2 - 1) × π
    0.232879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73161296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148757934570312 × 2 - 1) × π
    0.702484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20691898470815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73161296} λ = 0.73161296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20691898470815))-π/2
    2×atan(9.0876739532132)-π/2
    2×1.46119810924455-π/2
    2.92239621848909-1.57079632675     		φ = 1.35159989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73161296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.918335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35159989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.440969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40399 KachelY 9749 0.73161296 1.35159989 41.918335 77.440969
    Oben rechts KachelX + 1 40400 KachelY 9749 0.73170884 1.35159989 41.923828 77.440969
    Unten links KachelX 40399 KachelY + 1 9750 0.73161296 1.35157904 41.918335 77.439775
    Unten rechts KachelX + 1 40400 KachelY + 1 9750 0.73170884 1.35157904 41.923828 77.439775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35159989-1.35157904) × R
    2.08499999998502e-05 × 6371000     		dl = 132.835349999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35159989-1.35157904) × R
    2.08499999998502e-05 × 6371000     		dr = 132.835349999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73161296-0.73170884) × cos(1.35159989) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217445357426089 × 6371000     		do = 132.826818402922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73161296-0.73170884) × cos(1.35157904) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217465708490355 × 6371000     		du = 132.839249880649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35159989)-sin(1.35157904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217445357426089-0.217465708490355)×R²
    abs(0.73170884-0.73161296)×2.0351064266011e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.0351064266011e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.0351064266011e-05×40589641000000     		ar = 17644.922582109m²