Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40398 / 9748
↖ ↑ ↗
← N 77.442164°
E 41.912842°		 ← 132.80 m → N 77.442164°
E 41.918335°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
N 77.440969°
E 41.912842°		 ← 132.81 m →
17 641 m²		 N 77.440969°
E 41.918335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616432189941406 y=0.148750305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616432189941406 × 216)
    floor (0.616432189941406 × 65536)
    floor (40398.5)     		tx = 40398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148750305175781 × 216)
    floor (0.148750305175781 × 65536)
    floor (9748.5)     		ty = 9748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40398 / 9748 ti = "16/40398/9748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40398/9748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40398 ÷ 216
    40398 ÷ 65536     		x = 0.616424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9748 ÷ 216
    9748 ÷ 65536     		y = 0.14874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616424560546875 × 2 - 1) × π
    0.23284912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73151709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14874267578125 × 2 - 1) × π
    0.7025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20701485850739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73151709} λ = 0.73151709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20701485850739))-π/2
    2×atan(9.08854526480866)-π/2
    2×1.46120853241303-π/2
    2.92241706482606-1.57079632675     		φ = 1.35162074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73151709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.912842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35162074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.442164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40398 KachelY 9748 0.73151709 1.35162074 41.912842 77.442164
    Oben rechts KachelX + 1 40399 KachelY 9748 0.73161296 1.35162074 41.918335 77.442164
    Unten links KachelX 40398 KachelY + 1 9749 0.73151709 1.35159989 41.912842 77.440969
    Unten rechts KachelX + 1 40399 KachelY + 1 9749 0.73161296 1.35159989 41.918335 77.440969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35162074-1.35159989) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dl = 132.83535000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35162074-1.35159989) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dr = 132.83535000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73151709-0.73161296) × cos(1.35162074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217425006267294 × 6371000     		do = 132.800534720234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73151709-0.73161296) × cos(1.35159989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217445357426089 × 6371000     		du = 132.812964959131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35162074)-sin(1.35159989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217425006267294-0.217445357426089)×R²
    abs(0.73161296-0.73151709)×2.03511587946459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03511587946459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03511587946459e-05×40589641000000     		ar = 17641.431098016m²