Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40394 / 9724
↖ ↑ ↗
← N 77.470796°
E 41.890869°		 ← 132.52 m → N 77.470796°
E 41.896362°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
N 77.469605°
E 41.890869°		 ← 132.53 m →
17 561 m²		 N 77.469605°
E 41.896362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616371154785156 y=0.148384094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616371154785156 × 216)
    floor (0.616371154785156 × 65536)
    floor (40394.5)     		tx = 40394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148384094238281 × 216)
    floor (0.148384094238281 × 65536)
    floor (9724.5)     		ty = 9724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40394 / 9724 ti = "16/40394/9724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40394/9724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40394 ÷ 216
    40394 ÷ 65536     		x = 0.616363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9724 ÷ 216
    9724 ÷ 65536     		y = 0.14837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616363525390625 × 2 - 1) × π
    0.23272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73113359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14837646484375 × 2 - 1) × π
    0.7032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20931582968915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73113359} λ = 0.73113359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20931582968915))-π/2
    2×atan(9.10948182351892)-π/2
    2×1.4614583960491-π/2
    2.92291679209819-1.57079632675     		φ = 1.35212047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73113359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.890869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35212047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.470796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40394 KachelY 9724 0.73113359 1.35212047 41.890869 77.470796
    Oben rechts KachelX + 1 40395 KachelY 9724 0.73122947 1.35212047 41.896362 77.470796
    Unten links KachelX 40394 KachelY + 1 9725 0.73113359 1.35209967 41.890869 77.469605
    Unten rechts KachelX + 1 40395 KachelY + 1 9725 0.73122947 1.35209967 41.896362 77.469605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35212047-1.35209967) × R
    2.0799999999932e-05 × 6371000     		dl = 132.516799999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35212047-1.35209967) × R
    2.0799999999932e-05 × 6371000     		dr = 132.516799999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73113359-0.73122947) × cos(1.35212047) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.216937204165086 × 6371000     		do = 132.516412231371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73113359-0.73122947) × cos(1.35209967) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.216957508777824 × 6371000     		du = 132.528815334114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35212047)-sin(1.35209967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216937204165086-0.216957508777824)×R²
    abs(0.73122947-0.73113359)×2.03046127388029e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.03046127388029e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.03046127388029e-05×40589641000000     		ar = 17561.47270674m²