Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40394 / 9715
↖ ↑ ↗
← N 77.481516°
E 41.890869°		 ← 132.40 m → N 77.481516°
E 41.896362°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
N 77.480326°
E 41.890869°		 ← 132.42 m →
17 530 m²		 N 77.480326°
E 41.896362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616371154785156 y=0.148246765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616371154785156 × 216)
    floor (0.616371154785156 × 65536)
    floor (40394.5)     		tx = 40394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148246765136719 × 216)
    floor (0.148246765136719 × 65536)
    floor (9715.5)     		ty = 9715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40394 / 9715 ti = "16/40394/9715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40394/9715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40394 ÷ 216
    40394 ÷ 65536     		x = 0.616363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9715 ÷ 216
    9715 ÷ 65536     		y = 0.148239135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616363525390625 × 2 - 1) × π
    0.23272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73113359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148239135742188 × 2 - 1) × π
    0.703521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21017869388231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73113359} λ = 0.73113359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21017869388231))-π/2
    2×atan(9.11734546134054)-π/2
    2×1.46155195031671-π/2
    2.92310390063342-1.57079632675     		φ = 1.35230757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73113359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.890869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35230757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.481516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40394 KachelY 9715 0.73113359 1.35230757 41.890869 77.481516
    Oben rechts KachelX + 1 40395 KachelY 9715 0.73122947 1.35230757 41.896362 77.481516
    Unten links KachelX 40394 KachelY + 1 9716 0.73113359 1.35228679 41.890869 77.480326
    Unten rechts KachelX + 1 40395 KachelY + 1 9716 0.73122947 1.35228679 41.896362 77.480326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35230757-1.35228679) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35230757-1.35228679) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73113359-0.73122947) × cos(1.35230757) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.216754556050597 × 6371000     		do = 132.404841360317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73113359-0.73122947) × cos(1.35228679) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.216774841982838 × 6371000     		du = 132.417233052049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35230757)-sin(1.35228679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216754556050597-0.216774841982838)×R²
    abs(0.73122947-0.73113359)×2.02859322407101e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.02859322407101e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.02859322407101e-05×40589641000000     		ar = 17529.8151215783m²