Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40391 / 9703
↖ ↑ ↗
← N 77.495797°
E 41.874390°		 ← 132.26 m → N 77.495797°
E 41.879883°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
N 77.494607°
E 41.874390°		 ← 132.27 m →
17 493 m²		 N 77.494607°
E 41.879883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616325378417969 y=0.148063659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616325378417969 × 216)
    floor (0.616325378417969 × 65536)
    floor (40391.5)     		tx = 40391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148063659667969 × 216)
    floor (0.148063659667969 × 65536)
    floor (9703.5)     		ty = 9703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40391 / 9703 ti = "16/40391/9703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40391/9703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40391 ÷ 216
    40391 ÷ 65536     		x = 0.616317749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9703 ÷ 216
    9703 ÷ 65536     		y = 0.148056030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616317749023438 × 2 - 1) × π
    0.232635498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73084597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148056030273438 × 2 - 1) × π
    0.703887939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21132917947319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73084597} λ = 0.73084597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21132917947319))-π/2
    2×atan(9.12784087217271)-π/2
    2×1.46167656681639-π/2
    2.92335313363278-1.57079632675     		φ = 1.35255681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73084597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.874390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35255681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.495797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40391 KachelY 9703 0.73084597 1.35255681 41.874390 77.495797
    Oben rechts KachelX + 1 40392 KachelY 9703 0.73094185 1.35255681 41.879883 77.495797
    Unten links KachelX 40391 KachelY + 1 9704 0.73084597 1.35253605 41.874390 77.494607
    Unten rechts KachelX + 1 40392 KachelY + 1 9704 0.73094185 1.35253605 41.879883 77.494607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35255681-1.35253605) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35255681-1.35253605) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73084597-0.73094185) × cos(1.35255681) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.216511234719309 × 6371000     		do = 132.256208164984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73084597-0.73094185) × cos(1.35253605) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.216531502248076 × 6371000     		du = 132.268588614927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35255681)-sin(1.35253605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216511234719309-0.216531502248076)×R²
    abs(0.73094185-0.73084597)×2.02675287672149e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.02675287672149e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.02675287672149e-05×40589641000000     		ar = 17493.2840459802m²