Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40390 / 9701
↖ ↑ ↗
← N 77.498175°
E 41.868897°		 ← 132.22 m → N 77.498175°
E 41.874390°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
N 77.496986°
E 41.868897°		 ← 132.23 m →
17 488 m²		 N 77.496986°
E 41.874390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616310119628906 y=0.148033142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616310119628906 × 216)
    floor (0.616310119628906 × 65536)
    floor (40390.5)     		tx = 40390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148033142089844 × 216)
    floor (0.148033142089844 × 65536)
    floor (9701.5)     		ty = 9701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40390 / 9701 ti = "16/40390/9701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40390/9701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40390 ÷ 216
    40390 ÷ 65536     		x = 0.616302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9701 ÷ 216
    9701 ÷ 65536     		y = 0.148025512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616302490234375 × 2 - 1) × π
    0.23260498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73075010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148025512695312 × 2 - 1) × π
    0.703948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21152092707167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73075010} λ = 0.73075010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21152092707167))-π/2
    2×atan(9.12959128155229)-π/2
    2×1.46169732262853-π/2
    2.92339464525706-1.57079632675     		φ = 1.35259832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73075010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.868897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35259832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.498175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40390 KachelY 9701 0.73075010 1.35259832 41.868897 77.498175
    Oben rechts KachelX + 1 40391 KachelY 9701 0.73084597 1.35259832 41.874390 77.498175
    Unten links KachelX 40390 KachelY + 1 9702 0.73075010 1.35257756 41.868897 77.496986
    Unten rechts KachelX + 1 40391 KachelY + 1 9702 0.73084597 1.35257756 41.874390 77.496986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35259832-1.35257756) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35259832-1.35257756) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73075010-0.73084597) × cos(1.35259832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21647070914474 × 6371000     		do = 132.217661708832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73075010-0.73084597) × cos(1.35257756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216490976860077 × 6371000     		du = 132.230040981485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35259832)-sin(1.35257756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21647070914474-0.216490976860077)×R²
    abs(0.73084597-0.73075010)×2.02677153365027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02677153365027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02677153365027e-05×40589641000000     		ar = 17488.1857381625m²