Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40389 / 9702
↖ ↑ ↗
← N 77.496986°
E 41.863403°		 ← 132.24 m → N 77.496986°
E 41.868897°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
N 77.495797°
E 41.863403°		 ← 132.26 m →
17 483 m²		 N 77.495797°
E 41.868897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616294860839844 y=0.148048400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616294860839844 × 216)
    floor (0.616294860839844 × 65536)
    floor (40389.5)     		tx = 40389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148048400878906 × 216)
    floor (0.148048400878906 × 65536)
    floor (9702.5)     		ty = 9702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40389 / 9702 ti = "16/40389/9702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40389/9702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40389 ÷ 216
    40389 ÷ 65536     		x = 0.616287231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9702 ÷ 216
    9702 ÷ 65536     		y = 0.148040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616287231445312 × 2 - 1) × π
    0.232574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73065422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148040771484375 × 2 - 1) × π
    0.70391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21142505327243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73065422} λ = 0.73065422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21142505327243))-π/2
    2×atan(9.1287160349079)-π/2
    2×1.46168694520815-π/2
    2.92337389041629-1.57079632675     		φ = 1.35257756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73065422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.863403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35257756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.496986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40389 KachelY 9702 0.73065422 1.35257756 41.863403 77.496986
    Oben rechts KachelX + 1 40390 KachelY 9702 0.73075010 1.35257756 41.868897 77.496986
    Unten links KachelX 40389 KachelY + 1 9703 0.73065422 1.35255681 41.863403 77.495797
    Unten rechts KachelX + 1 40390 KachelY + 1 9703 0.73075010 1.35255681 41.868897 77.495797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35257756-1.35255681) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35257756-1.35255681) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73065422-0.73075010) × cos(1.35257756) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216490976860077 × 6371000     		do = 132.243833621537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73065422-0.73075010) × cos(1.35255681) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216511234719309 × 6371000     		du = 132.256208164831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35257756)-sin(1.35255681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216490976860077-0.216511234719309)×R²
    abs(0.73075010-0.73065422)×2.02578592325697e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02578592325697e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02578592325697e-05×40589641000000     		ar = 17483.2213252206m²