Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4038 / 4849
↖ ↑ ↗
← S 31.391157°
W  2.548828°		 ← 4 171.26 m → S 31.391157°
W  2.504883°		 →
↑
4 170.46 m
↓
↑
4 170.46 m
↓
S 31.428663°
W  2.548828°		 ← 4 169.60 m →
17 392 596 m²		 S 31.428663°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49298095703125 y=0.59197998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49298095703125 × 213)
    floor (0.49298095703125 × 8192)
    floor (4038.5)     		tx = 4038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59197998046875 × 213)
    floor (0.59197998046875 × 8192)
    floor (4849.5)     		ty = 4849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4038 / 4849 ti = "13/4038/4849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4038/4849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4038 ÷ 213
    4038 ÷ 8192     		x = 0.492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4849 ÷ 213
    4849 ÷ 8192     		y = 0.5919189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.01416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04448544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.577543766622437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04448544} λ = -0.04448544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577543766622437))-π/2
    2×atan(0.561275297961568)-π/2
    2×0.511458636011755-π/2
    1.02291727202351-1.57079632675     		φ = -0.54787905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04448544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54787905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.391157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4038 KachelY 4849 -0.04448544 -0.54787905 -2.548828 -31.391157
    Oben rechts KachelX + 1 4039 KachelY 4849 -0.04371845 -0.54787905 -2.504883 -31.391157
    Unten links KachelX 4038 KachelY + 1 4850 -0.04448544 -0.54853365 -2.548828 -31.428663
    Unten rechts KachelX + 1 4039 KachelY + 1 4850 -0.04371845 -0.54853365 -2.504883 -31.428663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54787905--0.54853365) × R
    0.00065459999999995 × 6371000     		dl = 4170.45659999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54787905--0.54853365) × R
    0.00065459999999995 × 6371000     		dr = 4170.45659999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04448544--0.04371845) × cos(-0.54787905) × R
    0.000766990000000002 × 0.853631197196795 × 6371000     		do = 4171.26311723682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04448544--0.04371845) × cos(-0.54853365) × R
    0.000766990000000002 × 0.853290047661569 × 6371000     		du = 4169.59609232205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54787905)-sin(-0.54853365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853631197196795-0.853290047661569)×R²
    abs(-0.04371845--0.04448544)×0.000341149535226459×R²
    0.000766990000000002×0.000341149535226459×6371000²
    0.000766990000000002×0.000341149535226459×40589641000000     		ar = 17392596.2911513m²