Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4038 / 1721
↖ ↑ ↗
← N 71.622143°
W  2.548828°		 ← 1 540.62 m → N 71.622143°
W  2.504883°		 →
↑
1 541.21 m
↓
↑
1 541.21 m
↓
N 71.608282°
W  2.548828°		 ← 1 541.75 m →
2 375 289 m²		 N 71.608282°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49298095703125 y=0.21014404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49298095703125 × 213)
    floor (0.49298095703125 × 8192)
    floor (4038.5)     		tx = 4038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21014404296875 × 213)
    floor (0.21014404296875 × 8192)
    floor (1721.5)     		ty = 1721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4038 / 1721 ti = "13/4038/1721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4038/1721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4038 ÷ 213
    4038 ÷ 8192     		x = 0.492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1721 ÷ 213
    1721 ÷ 8192     		y = 0.2100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.01416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04448544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2100830078125 × 2 - 1) × π
    0.579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82160218556213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04448544} λ = -0.04448544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82160218556213))-π/2
    2×atan(6.18175483819172)-π/2
    2×1.41041926750697-π/2
    2.82083853501394-1.57079632675     		φ = 1.25004221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04448544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25004221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.622143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4038 KachelY 1721 -0.04448544 1.25004221 -2.548828 71.622143
    Oben rechts KachelX + 1 4039 KachelY 1721 -0.04371845 1.25004221 -2.504883 71.622143
    Unten links KachelX 4038 KachelY + 1 1722 -0.04448544 1.24980030 -2.548828 71.608282
    Unten rechts KachelX + 1 4039 KachelY + 1 1722 -0.04371845 1.24980030 -2.504883 71.608282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25004221-1.24980030) × R
    0.000241909999999956 × 6371000     		dl = 1541.20860999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25004221-1.24980030) × R
    0.000241909999999956 × 6371000     		dr = 1541.20860999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04448544--0.04371845) × cos(1.25004221) × R
    0.000766990000000002 × 0.315282305473595 × 6371000     		do = 1540.62487015246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04448544--0.04371845) × cos(1.24980030) × R
    0.000766990000000002 × 0.315511868334952 × 6371000     		du = 1541.74662753411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25004221)-sin(1.24980030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315282305473595-0.315511868334952)×R²
    abs(-0.04371845--0.04448544)×0.000229562861357113×R²
    0.000766990000000002×0.000229562861357113×6371000²
    0.000766990000000002×0.000229562861357113×40589641000000     		ar = 2375288.7573071m²