Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40379 / 9741
↖ ↑ ↗
← N 77.450522°
E 41.808472°		 ← 132.71 m → N 77.450522°
E 41.813965°		 →
↑
132.71 m
↓
↑
132.71 m
↓
N 77.449328°
E 41.808472°		 ← 132.73 m →
17 613 m²		 N 77.449328°
E 41.813965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616142272949219 y=0.148643493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616142272949219 × 216)
    floor (0.616142272949219 × 65536)
    floor (40379.5)     		tx = 40379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148643493652344 × 216)
    floor (0.148643493652344 × 65536)
    floor (9741.5)     		ty = 9741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40379 / 9741 ti = "16/40379/9741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40379/9741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40379 ÷ 216
    40379 ÷ 65536     		x = 0.616134643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9741 ÷ 216
    9741 ÷ 65536     		y = 0.148635864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616134643554688 × 2 - 1) × π
    0.232269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72969549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148635864257812 × 2 - 1) × π
    0.702728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20768597510207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72969549} λ = 0.72969549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20768597510207))-π/2
    2×atan(9.09464678554428)-π/2
    2×1.4612814672873-π/2
    2.9225629345746-1.57079632675     		φ = 1.35176661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72969549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.808472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35176661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.450522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40379 KachelY 9741 0.72969549 1.35176661 41.808472 77.450522
    Oben rechts KachelX + 1 40380 KachelY 9741 0.72979136 1.35176661 41.813965 77.450522
    Unten links KachelX 40379 KachelY + 1 9742 0.72969549 1.35174578 41.808472 77.449328
    Unten rechts KachelX + 1 40380 KachelY + 1 9742 0.72979136 1.35174578 41.813965 77.449328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35176661-1.35174578) × R
    2.08300000001937e-05 × 6371000     		dl = 132.707930001234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35176661-1.35174578) × R
    2.08300000001937e-05 × 6371000     		dr = 132.707930001234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72969549-0.72979136) × cos(1.35176661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21728262359838 × 6371000     		do = 132.713569127401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72969549-0.72979136) × cos(1.35174578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217302955896179 × 6371000     		du = 132.725987846233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35176661)-sin(1.35174578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21728262359838-0.217302955896179)×R²
    abs(0.72979136-0.72969549)×2.0332297799186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0332297799186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0332297799186e-05×40589641000000     		ar = 17612.967073839m²