Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40376 / 9690
↖ ↑ ↗
← N 77.511248°
E 41.791992°		 ← 132.10 m → N 77.511248°
E 41.797485°		 →
↑
132.07 m
↓
↑
132.07 m
↓
N 77.510061°
E 41.791992°		 ← 132.11 m →
17 447 m²		 N 77.510061°
E 41.797485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616096496582031 y=0.147865295410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616096496582031 × 216)
    floor (0.616096496582031 × 65536)
    floor (40376.5)     		tx = 40376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147865295410156 × 216)
    floor (0.147865295410156 × 65536)
    floor (9690.5)     		ty = 9690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40376 / 9690 ti = "16/40376/9690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40376/9690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40376 ÷ 216
    40376 ÷ 65536     		x = 0.6160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9690 ÷ 216
    9690 ÷ 65536     		y = 0.147857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6160888671875 × 2 - 1) × π
    0.232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72940786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147857666015625 × 2 - 1) × π
    0.70428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21257553886331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72940786} λ = 0.72940786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21257553886331))-π/2
    2×atan(9.13922453494915)-π/2
    2×1.46181141016685-π/2
    2.9236228203337-1.57079632675     		φ = 1.35282649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72940786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.791992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35282649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.511248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40376 KachelY 9690 0.72940786 1.35282649 41.791992 77.511248
    Oben rechts KachelX + 1 40377 KachelY 9690 0.72950374 1.35282649 41.797485 77.511248
    Unten links KachelX 40376 KachelY + 1 9691 0.72940786 1.35280576 41.791992 77.510061
    Unten rechts KachelX + 1 40377 KachelY + 1 9691 0.72950374 1.35280576 41.797485 77.510061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35282649-1.35280576) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dl = 132.070829999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35282649-1.35280576) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dr = 132.070829999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72940786-0.72950374) × cos(1.35282649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216247943624869 × 6371000     		do = 132.095376410121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72940786-0.72950374) × cos(1.35280576) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216268183075086 × 6371000     		du = 132.107739708241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35282649)-sin(1.35280576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216247943624869-0.216268183075086)×R²
    abs(0.72950374-0.72940786)×2.02394502175351e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02394502175351e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02394502175351e-05×40589641000000     		ar = 17446.762417735m²