Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40372 / 9698
↖ ↑ ↗
← N 77.501742°
E 41.770020°		 ← 132.18 m → N 77.501742°
E 41.775513°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
N 77.500553°
E 41.770020°		 ← 132.19 m →
17 475 m²		 N 77.500553°
E 41.775513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616035461425781 y=0.147987365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616035461425781 × 216)
    floor (0.616035461425781 × 65536)
    floor (40372.5)     		tx = 40372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147987365722656 × 216)
    floor (0.147987365722656 × 65536)
    floor (9698.5)     		ty = 9698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40372 / 9698 ti = "16/40372/9698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40372/9698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40372 ÷ 216
    40372 ÷ 65536     		x = 0.61602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9698 ÷ 216
    9698 ÷ 65536     		y = 0.147979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61602783203125 × 2 - 1) × π
    0.2320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72902437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147979736328125 × 2 - 1) × π
    0.70404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21180854846939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72902437} λ = 0.72902437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21180854846939))-π/2
    2×atan(9.13221752502111)-π/2
    2×1.46172844906231-π/2
    2.92345689812462-1.57079632675     		φ = 1.35266057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72902437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.770020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35266057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.501742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40372 KachelY 9698 0.72902437 1.35266057 41.770020 77.501742
    Oben rechts KachelX + 1 40373 KachelY 9698 0.72912024 1.35266057 41.775513 77.501742
    Unten links KachelX 40372 KachelY + 1 9699 0.72902437 1.35263982 41.770020 77.500553
    Unten rechts KachelX + 1 40373 KachelY + 1 9699 0.72912024 1.35263982 41.775513 77.500553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35266057-1.35263982) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35266057-1.35263982) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72902437-0.72912024) × cos(1.35266057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216409934728079 × 6371000     		do = 132.180541438406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72902437-0.72912024) × cos(1.35263982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216430192960156 × 6371000     		du = 132.1929149188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35266057)-sin(1.35263982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216409934728079-0.216430192960156)×R²
    abs(0.72912024-0.72902437)×2.02582320767142e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02582320767142e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02582320767142e-05×40589641000000     		ar = 17474.8541390071m²