Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40370 / 9699
↖ ↑ ↗
← N 77.500553°
E 41.759033°		 ← 132.21 m → N 77.500553°
E 41.764527°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
N 77.499364°
E 41.759033°		 ← 132.22 m →
17 478 m²		 N 77.499364°
E 41.764527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616004943847656 y=0.148002624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616004943847656 × 216)
    floor (0.616004943847656 × 65536)
    floor (40370.5)     		tx = 40370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148002624511719 × 216)
    floor (0.148002624511719 × 65536)
    floor (9699.5)     		ty = 9699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40370 / 9699 ti = "16/40370/9699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40370/9699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40370 ÷ 216
    40370 ÷ 65536     		x = 0.615997314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9699 ÷ 216
    9699 ÷ 65536     		y = 0.147994995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615997314453125 × 2 - 1) × π
    0.23199462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72883262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147994995117188 × 2 - 1) × π
    0.704010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21171267467015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72883262} λ = 0.72883262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21171267467015))-π/2
    2×atan(9.13134202660085)-π/2
    2×1.46171807455553-π/2
    2.92343614911105-1.57079632675     		φ = 1.35263982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72883262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.759033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35263982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.500553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40370 KachelY 9699 0.72883262 1.35263982 41.759033 77.500553
    Oben rechts KachelX + 1 40371 KachelY 9699 0.72892850 1.35263982 41.764527 77.500553
    Unten links KachelX 40370 KachelY + 1 9700 0.72883262 1.35261907 41.759033 77.499364
    Unten rechts KachelX + 1 40371 KachelY + 1 9700 0.72892850 1.35261907 41.764527 77.499364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35263982-1.35261907) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35263982-1.35261907) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72883262-0.72892850) × cos(1.35263982) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216430192960156 × 6371000     		do = 132.20670368631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72883262-0.72892850) × cos(1.35261907) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216450451099046 × 6371000     		du = 132.219078400433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35263982)-sin(1.35261907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216430192960156-0.216450451099046)×R²
    abs(0.72892850-0.72883262)×2.02581388899781e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02581388899781e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02581388899781e-05×40589641000000     		ar = 17478.3128242044m²