Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4037 / 1724
↖ ↑ ↗
← N 71.580532°
W  2.592773°		 ← 1 543.99 m → N 71.580532°
W  2.548828°		 →
↑
1 544.59 m
↓
↑
1 544.59 m
↓
N 71.566641°
W  2.592773°		 ← 1 545.12 m →
2 385 696 m²		 N 71.566641°
W  2.548828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49285888671875 y=0.21051025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49285888671875 × 213)
    floor (0.49285888671875 × 8192)
    floor (4037.5)     		tx = 4037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21051025390625 × 213)
    floor (0.21051025390625 × 8192)
    floor (1724.5)     		ty = 1724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4037 / 1724 ti = "13/4037/1724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4037/1724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4037 ÷ 213
    4037 ÷ 8192     		x = 0.4927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1724 ÷ 213
    1724 ÷ 8192     		y = 0.21044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04525243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21044921875 × 2 - 1) × π
    0.5791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81930121438037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04525243} λ = -0.04525243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81930121438037))-π/2
    2×atan(6.16754715046484)-π/2
    2×1.41005614346978-π/2
    2.82011228693956-1.57079632675     		φ = 1.24931596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04525243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.592773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24931596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.580532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4037 KachelY 1724 -0.04525243 1.24931596 -2.592773 71.580532
    Oben rechts KachelX + 1 4038 KachelY 1724 -0.04448544 1.24931596 -2.548828 71.580532
    Unten links KachelX 4037 KachelY + 1 1725 -0.04525243 1.24907352 -2.592773 71.566641
    Unten rechts KachelX + 1 4038 KachelY + 1 1725 -0.04448544 1.24907352 -2.548828 71.566641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24931596-1.24907352) × R
    0.000242439999999844 × 6371000     		dl = 1544.58523999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24931596-1.24907352) × R
    0.000242439999999844 × 6371000     		dr = 1544.58523999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04525243--0.04448544) × cos(1.24931596) × R
    0.000766990000000002 × 0.315971432012315 × 6371000     		do = 1543.99228235987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04525243--0.04448544) × cos(1.24907352) × R
    0.000766990000000002 × 0.316201442208768 × 6371000     		du = 1545.11622564147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24931596)-sin(1.24907352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315971432012315-0.316201442208768)×R²
    abs(-0.04448544--0.04525243)×0.000230010196452746×R²
    0.000766990000000002×0.000230010196452746×6371000²
    0.000766990000000002×0.000230010196452746×40589641000000     		ar = 2385695.71479144m²