Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4036 / 1721
↖ ↑ ↗
← N 71.622143°
W  2.636719°		 ← 1 540.62 m → N 71.622143°
W  2.592773°		 →
↑
1 541.21 m
↓
↑
1 541.21 m
↓
N 71.608282°
W  2.636719°		 ← 1 541.75 m →
2 375 289 m²		 N 71.608282°
W  2.592773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49273681640625 y=0.21014404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49273681640625 × 213)
    floor (0.49273681640625 × 8192)
    floor (4036.5)     		tx = 4036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21014404296875 × 213)
    floor (0.21014404296875 × 8192)
    floor (1721.5)     		ty = 1721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4036 / 1721 ti = "13/4036/1721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4036/1721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4036 ÷ 213
    4036 ÷ 8192     		x = 0.49267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1721 ÷ 213
    1721 ÷ 8192     		y = 0.2100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2100830078125 × 2 - 1) × π
    0.579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82160218556213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04601942} λ = -0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82160218556213))-π/2
    2×atan(6.18175483819172)-π/2
    2×1.41041926750697-π/2
    2.82083853501394-1.57079632675     		φ = 1.25004221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25004221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.622143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4036 KachelY 1721 -0.04601942 1.25004221 -2.636719 71.622143
    Oben rechts KachelX + 1 4037 KachelY 1721 -0.04525243 1.25004221 -2.592773 71.622143
    Unten links KachelX 4036 KachelY + 1 1722 -0.04601942 1.24980030 -2.636719 71.608282
    Unten rechts KachelX + 1 4037 KachelY + 1 1722 -0.04525243 1.24980030 -2.592773 71.608282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25004221-1.24980030) × R
    0.000241909999999956 × 6371000     		dl = 1541.20860999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25004221-1.24980030) × R
    0.000241909999999956 × 6371000     		dr = 1541.20860999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04601942--0.04525243) × cos(1.25004221) × R
    0.000766989999999995 × 0.315282305473595 × 6371000     		do = 1540.62487015244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04601942--0.04525243) × cos(1.24980030) × R
    0.000766989999999995 × 0.315511868334952 × 6371000     		du = 1541.7466275341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25004221)-sin(1.24980030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315282305473595-0.315511868334952)×R²
    abs(-0.04525243--0.04601942)×0.000229562861357113×R²
    0.000766989999999995×0.000229562861357113×6371000²
    0.000766989999999995×0.000229562861357113×40589641000000     		ar = 2375288.75730708m²