Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40348 / 9820
↖ ↑ ↗
← N 77.355880°
E 41.638184°		 ← 133.70 m → N 77.355880°
E 41.643677°		 →
↑
133.66 m
↓
↑
133.66 m
↓
N 77.354678°
E 41.638184°		 ← 133.71 m →
17 871 m²		 N 77.354678°
E 41.643677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615669250488281 y=0.149848937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615669250488281 × 216)
    floor (0.615669250488281 × 65536)
    floor (40348.5)     		tx = 40348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149848937988281 × 216)
    floor (0.149848937988281 × 65536)
    floor (9820.5)     		ty = 9820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40348 / 9820 ti = "16/40348/9820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40348/9820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40348 ÷ 216
    40348 ÷ 65536     		x = 0.61566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9820 ÷ 216
    9820 ÷ 65536     		y = 0.14984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61566162109375 × 2 - 1) × π
    0.2313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72672340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14984130859375 × 2 - 1) × π
    0.7003173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2001119449621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72672340} λ = 0.72672340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2001119449621))-π/2
    2×atan(9.02602386077962)-π/2
    2×1.460455565868-π/2
    2.92091113173601-1.57079632675     		φ = 1.35011480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72672340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.638184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35011480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.355880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40348 KachelY 9820 0.72672340 1.35011480 41.638184 77.355880
    Oben rechts KachelX + 1 40349 KachelY 9820 0.72681927 1.35011480 41.643677 77.355880
    Unten links KachelX 40348 KachelY + 1 9821 0.72672340 1.35009382 41.638184 77.354678
    Unten rechts KachelX + 1 40349 KachelY + 1 9821 0.72681927 1.35009382 41.643677 77.354678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35011480-1.35009382) × R
    2.09800000001703e-05 × 6371000     		dl = 133.663580001085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35011480-1.35009382) × R
    2.09800000001703e-05 × 6371000     		dr = 133.663580001085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72672340-0.72681927) × cos(1.35011480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21889467260866 × 6371000     		do = 133.698188947521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72672340-0.72681927) × cos(1.35009382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218915143763875 × 6371000     		du = 133.710692478764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35011480)-sin(1.35009382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21889467260866-0.218915143763875)×R²
    abs(0.72681927-0.72672340)×2.04711552150849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04711552150849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04711552150849e-05×40589641000000     		ar = 17871.4142085465m²