Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40347 / 9774
↖ ↑ ↗
← N 77.411073°
E 41.632690°		 ← 133.14 m → N 77.411073°
E 41.638184°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
N 77.409875°
E 41.632690°		 ← 133.15 m →
17 729 m²		 N 77.409875°
E 41.638184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615653991699219 y=0.149147033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615653991699219 × 216)
    floor (0.615653991699219 × 65536)
    floor (40347.5)     		tx = 40347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149147033691406 × 216)
    floor (0.149147033691406 × 65536)
    floor (9774.5)     		ty = 9774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40347 / 9774 ti = "16/40347/9774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40347/9774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40347 ÷ 216
    40347 ÷ 65536     		x = 0.615646362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9774 ÷ 216
    9774 ÷ 65536     		y = 0.149139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615646362304688 × 2 - 1) × π
    0.231292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72662752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149139404296875 × 2 - 1) × π
    0.70172119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20452213972714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72662752} λ = 0.72662752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20452213972714))-π/2
    2×atan(9.06591829040034)-π/2
    2×1.46093721278764-π/2
    2.92187442557528-1.57079632675     		φ = 1.35107810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72662752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.632690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35107810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.411073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40347 KachelY 9774 0.72662752 1.35107810 41.632690 77.411073
    Oben rechts KachelX + 1 40348 KachelY 9774 0.72672340 1.35107810 41.638184 77.411073
    Unten links KachelX 40347 KachelY + 1 9775 0.72662752 1.35105720 41.632690 77.409875
    Unten rechts KachelX + 1 40348 KachelY + 1 9775 0.72672340 1.35105720 41.638184 77.409875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35107810-1.35105720) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35107810-1.35105720) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72662752-0.72672340) × cos(1.35107810) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217954632669063 × 6371000     		do = 133.13790993882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72662752-0.72672340) × cos(1.35105720) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217975030162508 × 6371000     		du = 133.15036977788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35107810)-sin(1.35105720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217954632669063-0.217975030162508)×R²
    abs(0.72672340-0.72662752)×2.03974934447626e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.03974934447626e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.03974934447626e-05×40589641000000     		ar = 17728.6614846566m²