Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40342 / 9833
↖ ↑ ↗
← N 77.340239°
E 41.605225°		 ← 133.86 m → N 77.340239°
E 41.610718°		 →
↑
133.92 m
↓
↑
133.92 m
↓
N 77.339035°
E 41.605225°		 ← 133.87 m →
17 927 m²		 N 77.339035°
E 41.610718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615577697753906 y=0.150047302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615577697753906 × 216)
    floor (0.615577697753906 × 65536)
    floor (40342.5)     		tx = 40342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150047302246094 × 216)
    floor (0.150047302246094 × 65536)
    floor (9833.5)     		ty = 9833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40342 / 9833 ti = "16/40342/9833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40342/9833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40342 ÷ 216
    40342 ÷ 65536     		x = 0.615570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9833 ÷ 216
    9833 ÷ 65536     		y = 0.150039672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615570068359375 × 2 - 1) × π
    0.23114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72614816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150039672851562 × 2 - 1) × π
    0.699920654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19886558557198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72614816} λ = 0.72614816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19886558557198))-π/2
    2×atan(9.01478119883929)-π/2
    2×1.46031907217694-π/2
    2.92063814435387-1.57079632675     		φ = 1.34984182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72614816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.605225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34984182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.340239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40342 KachelY 9833 0.72614816 1.34984182 41.605225 77.340239
    Oben rechts KachelX + 1 40343 KachelY 9833 0.72624403 1.34984182 41.610718 77.340239
    Unten links KachelX 40342 KachelY + 1 9834 0.72614816 1.34982080 41.605225 77.339035
    Unten rechts KachelX + 1 40343 KachelY + 1 9834 0.72624403 1.34982080 41.610718 77.339035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34984182-1.34982080) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dl = 133.918419999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34984182-1.34982080) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dr = 133.918419999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72614816-0.72624403) × cos(1.34984182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219161024273265 × 6371000     		do = 133.860873286781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72614816-0.72624403) × cos(1.34982080) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219181533201387 × 6371000     		du = 133.873399889253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34984182)-sin(1.34982080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219161024273265-0.219181533201387)×R²
    abs(0.72624403-0.72614816)×2.05089281213877e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05089281213877e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05089281213877e-05×40589641000000     		ar = 17927.2754221616m²