Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40341 / 9834
↖ ↑ ↗
← N 77.339035°
E 41.599731°		 ← 133.89 m → N 77.339035°
E 41.605225°		 →
↑
133.85 m
↓
↑
133.85 m
↓
N 77.337831°
E 41.599731°		 ← 133.90 m →
17 922 m²		 N 77.337831°
E 41.605225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615562438964844 y=0.150062561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615562438964844 × 216)
    floor (0.615562438964844 × 65536)
    floor (40341.5)     		tx = 40341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150062561035156 × 216)
    floor (0.150062561035156 × 65536)
    floor (9834.5)     		ty = 9834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40341 / 9834 ti = "16/40341/9834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40341/9834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40341 ÷ 216
    40341 ÷ 65536     		x = 0.615554809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9834 ÷ 216
    9834 ÷ 65536     		y = 0.150054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615554809570312 × 2 - 1) × π
    0.231109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72605228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150054931640625 × 2 - 1) × π
    0.69989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19876971177274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72605228} λ = 0.72605228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19876971177274))-π/2
    2×atan(9.01391695894608)-π/2
    2×1.46030856578541-π/2
    2.92061713157082-1.57079632675     		φ = 1.34982080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72605228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.599731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34982080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.339035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40341 KachelY 9834 0.72605228 1.34982080 41.599731 77.339035
    Oben rechts KachelX + 1 40342 KachelY 9834 0.72614816 1.34982080 41.605225 77.339035
    Unten links KachelX 40341 KachelY + 1 9835 0.72605228 1.34979979 41.599731 77.337831
    Unten rechts KachelX + 1 40342 KachelY + 1 9835 0.72614816 1.34979979 41.605225 77.337831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34982080-1.34979979) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dl = 133.854709999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34982080-1.34979979) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dr = 133.854709999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72605228-0.72614816) × cos(1.34982080) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219181533201387 × 6371000     		do = 133.887363944804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72605228-0.72614816) × cos(1.34979979) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21920203227587 × 6371000     		du = 133.89988583479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34982080)-sin(1.34979979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219181533201387-0.21920203227587)×R²
    abs(0.72614816-0.72605228)×2.049907448326e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.049907448326e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.049907448326e-05×40589641000000     		ar = 17922.2923311965m²