Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40338 / 9842
↖ ↑ ↗
← N 77.329400°
E 41.583252°		 ← 133.97 m → N 77.329400°
E 41.588745°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
N 77.328195°
E 41.583252°		 ← 133.99 m →
17 951 m²		 N 77.328195°
E 41.588745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615516662597656 y=0.150184631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615516662597656 × 216)
    floor (0.615516662597656 × 65536)
    floor (40338.5)     		tx = 40338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150184631347656 × 216)
    floor (0.150184631347656 × 65536)
    floor (9842.5)     		ty = 9842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40338 / 9842 ti = "16/40338/9842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40338/9842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40338 ÷ 216
    40338 ÷ 65536     		x = 0.615509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9842 ÷ 216
    9842 ÷ 65536     		y = 0.150177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615509033203125 × 2 - 1) × π
    0.23101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72576466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150177001953125 × 2 - 1) × π
    0.69964599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19800272137881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72576466} λ = 0.72576466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19800272137881))-π/2
    2×atan(9.00700602187693)-π/2
    2×1.4602244792636-π/2
    2.92044895852721-1.57079632675     		φ = 1.34965263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72576466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.583252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34965263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.329400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40338 KachelY 9842 0.72576466 1.34965263 41.583252 77.329400
    Oben rechts KachelX + 1 40339 KachelY 9842 0.72586053 1.34965263 41.588745 77.329400
    Unten links KachelX 40338 KachelY + 1 9843 0.72576466 1.34963160 41.583252 77.328195
    Unten rechts KachelX + 1 40339 KachelY + 1 9843 0.72586053 1.34963160 41.588745 77.328195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34965263-1.34963160) × R
    2.10300000000885e-05 × 6371000     		dl = 133.982130000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34965263-1.34963160) × R
    2.10300000000885e-05 × 6371000     		dr = 133.982130000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72576466-0.72586053) × cos(1.34965263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219345610895712 × 6371000     		do = 133.973616538277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72576466-0.72586053) × cos(1.34963160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219366128708298 × 6371000     		du = 133.986148567272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34965263)-sin(1.34963160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219345610895712-0.219366128708298)×R²
    abs(0.72586053-0.72576466)×2.05178125860239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05178125860239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05178125860239e-05×40589641000000     		ar = 17950.9100420512m²