Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40328 / 32136
↖ ↑ ↗
← N 67.195517°
W 69.235840°		 ← 118.38 m → N 67.195517°
W 69.233093°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
N 67.194453°
W 69.235840°		 ← 118.38 m →
14 013 m²		 N 67.194453°
W 69.233093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.307682037353516 y=0.245182037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.307682037353516 × 217)
    floor (0.307682037353516 × 131072)
    floor (40328.5)     		tx = 40328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245182037353516 × 217)
    floor (0.245182037353516 × 131072)
    floor (32136.5)     		ty = 32136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40328 / 32136 ti = "17/40328/32136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40328/32136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40328 ÷ 217
    40328 ÷ 131072     		x = 0.30767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32136 ÷ 217
    32136 ÷ 131072     		y = 0.24517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3846435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.20839337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24517822265625 × 2 - 1) × π
    0.5096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60109244730988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.20839337} λ = -1.20839337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60109244730988))-π/2
    2×atan(4.95844630799573)-π/2
    2×1.37178967501653-π/2
    2.74357935003305-1.57079632675     		φ = 1.17278302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.20839337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17278302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.195517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40328 KachelY 32136 -1.20839337 1.17278302 -69.235840 67.195517
    Oben rechts KachelX + 1 40329 KachelY 32136 -1.20834543 1.17278302 -69.233093 67.195517
    Unten links KachelX 40328 KachelY + 1 32137 -1.20839337 1.17276444 -69.235840 67.194453
    Unten rechts KachelX + 1 40329 KachelY + 1 32137 -1.20834543 1.17276444 -69.233093 67.194453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17278302-1.17276444) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17278302-1.17276444) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.20839337--1.20834543) × cos(1.17278302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387587709387021 × 6371000     		do = 118.379262954358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.20839337--1.20834543) × cos(1.17276444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387604836974112 × 6371000     		du = 118.38449416032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17278302)-sin(1.17276444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387587709387021-0.387604836974112)×R²
    abs(-1.20834543--1.20839337)×1.71275870904375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71275870904375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71275870904375e-05×40589641000000     		ar = 14013.2394197928m²