Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40325 / 9604
↖ ↑ ↗
← N 77.612996°
E 41.511841°		 ← 131.02 m → N 77.612996°
E 41.517334°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
N 77.611818°
E 41.511841°		 ← 131.03 m →
17 171 m²		 N 77.611818°
E 41.517334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615318298339844 y=0.146553039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615318298339844 × 216)
    floor (0.615318298339844 × 65536)
    floor (40325.5)     		tx = 40325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146553039550781 × 216)
    floor (0.146553039550781 × 65536)
    floor (9604.5)     		ty = 9604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40325 / 9604 ti = "16/40325/9604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40325/9604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40325 ÷ 216
    40325 ÷ 65536     		x = 0.615310668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9604 ÷ 216
    9604 ÷ 65536     		y = 0.14654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615310668945312 × 2 - 1) × π
    0.230621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72451830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14654541015625 × 2 - 1) × π
    0.7069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22082068559796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72451830} λ = 0.72451830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22082068559796))-π/2
    2×atan(9.21489029125102)-π/2
    2×1.4626993290039-π/2
    2.92539865800781-1.57079632675     		φ = 1.35460233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72451830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.511841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35460233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.612996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40325 KachelY 9604 0.72451830 1.35460233 41.511841 77.612996
    Oben rechts KachelX + 1 40326 KachelY 9604 0.72461417 1.35460233 41.517334 77.612996
    Unten links KachelX 40325 KachelY + 1 9605 0.72451830 1.35458176 41.511841 77.611818
    Unten rechts KachelX + 1 40326 KachelY + 1 9605 0.72461417 1.35458176 41.517334 77.611818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35460233-1.35458176) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35460233-1.35458176) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72451830-0.72461417) × cos(1.35460233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214513782629935 × 6371000     		do = 131.0223949268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72451830-0.72461417) × cos(1.35458176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214533873734733 × 6371000     		du = 131.034666327896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35460233)-sin(1.35458176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214513782629935-0.214533873734733)×R²
    abs(0.72461417-0.72451830)×2.00911047980867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00911047980867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00911047980867e-05×40589641000000     		ar = 17171.4815511728m²