Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40324 / 9612
↖ ↑ ↗
← N 77.603566°
E 41.506348°		 ← 131.12 m → N 77.603566°
E 41.511841°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
N 77.602387°
E 41.506348°		 ← 131.13 m →
17 193 m²		 N 77.602387°
E 41.511841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615303039550781 y=0.146675109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615303039550781 × 216)
    floor (0.615303039550781 × 65536)
    floor (40324.5)     		tx = 40324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146675109863281 × 216)
    floor (0.146675109863281 × 65536)
    floor (9612.5)     		ty = 9612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40324 / 9612 ti = "16/40324/9612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40324/9612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40324 ÷ 216
    40324 ÷ 65536     		x = 0.61529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9612 ÷ 216
    9612 ÷ 65536     		y = 0.14666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61529541015625 × 2 - 1) × π
    0.2305908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72442243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14666748046875 × 2 - 1) × π
    0.7066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22005369520404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72442243} λ = 0.72442243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22005369520404))-π/2
    2×atan(9.20782526866518)-π/2
    2×1.46261703317789-π/2
    2.92523406635578-1.57079632675     		φ = 1.35443774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72442243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.506348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35443774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.603566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40324 KachelY 9612 0.72442243 1.35443774 41.506348 77.603566
    Oben rechts KachelX + 1 40325 KachelY 9612 0.72451830 1.35443774 41.511841 77.603566
    Unten links KachelX 40324 KachelY + 1 9613 0.72442243 1.35441716 41.506348 77.602387
    Unten rechts KachelX + 1 40325 KachelY + 1 9613 0.72451830 1.35441716 41.511841 77.602387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35443774-1.35441716) × R
    2.05800000001588e-05 × 6371000     		dl = 131.115180001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35443774-1.35441716) × R
    2.05800000001588e-05 × 6371000     		dr = 131.115180001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72442243-0.72451830) × cos(1.35443774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214674538226723 × 6371000     		do = 131.120582479277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72442243-0.72451830) × cos(1.35441716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214694638371766 × 6371000     		du = 131.132859402045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35443774)-sin(1.35441716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214674538226723-0.214694638371766)×R²
    abs(0.72451830-0.72442243)×2.01001450429728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.01001450429728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.01001450429728e-05×40589641000000     		ar = 17192.7036199676m²