Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4032 / 1732
↖ ↑ ↗
← N 71.469124°
W  2.812500°		 ← 1 553.02 m → N 71.469124°
W  2.768554°		 →
↑
1 553.57 m
↓
↑
1 553.57 m
↓
N 71.455153°
W  2.812500°		 ← 1 554.15 m →
2 413 607 m²		 N 71.455153°
W  2.768554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49224853515625 y=0.21148681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49224853515625 × 213)
    floor (0.49224853515625 × 8192)
    floor (4032.5)     		tx = 4032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21148681640625 × 213)
    floor (0.21148681640625 × 8192)
    floor (1732.5)     		ty = 1732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4032 / 1732 ti = "13/4032/1732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4032/1732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4032 ÷ 213
    4032 ÷ 8192     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1732 ÷ 213
    1732 ÷ 8192     		y = 0.21142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21142578125 × 2 - 1) × π
    0.5771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.813165291229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.813165291229))-π/2
    2×atan(6.12981942071165)-π/2
    2×1.40908392870443-π/2
    2.81816785740885-1.57079632675     		φ = 1.24737153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24737153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.469124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4032 KachelY 1732 -0.04908739 1.24737153 -2.812500 71.469124
    Oben rechts KachelX + 1 4033 KachelY 1732 -0.04832039 1.24737153 -2.768554 71.469124
    Unten links KachelX 4032 KachelY + 1 1733 -0.04908739 1.24712768 -2.812500 71.455153
    Unten rechts KachelX + 1 4033 KachelY + 1 1733 -0.04832039 1.24712768 -2.768554 71.455153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24737153-1.24712768) × R
    0.000243849999999934 × 6371000     		dl = 1553.56834999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24737153-1.24712768) × R
    0.000243849999999934 × 6371000     		dr = 1553.56834999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04832039) × cos(1.24737153) × R
    0.000767000000000004 × 0.317815647867951 × 6371000     		do = 1553.02427879868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04832039) × cos(1.24712768) × R
    0.000767000000000004 × 0.318046845410199 × 6371000     		du = 1554.15403876713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24737153)-sin(1.24712768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317815647867951-0.318046845410199)×R²
    abs(-0.04832039--0.04908739)×0.000231197542247319×R²
    0.000767000000000004×0.000231197542247319×6371000²
    0.000767000000000004×0.000231197542247319×40589641000000     		ar = 2413606.95794833m²