Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4031 / 1738
↖ ↑ ↗
← N 71.385142°
W  2.856446°		 ← 1 559.79 m → N 71.385142°
W  2.812500°		 →
↑
1 560.39 m
↓
↑
1 560.39 m
↓
N 71.371109°
W  2.856446°		 ← 1 560.93 m →
2 434 764 m²		 N 71.371109°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49212646484375 y=0.21221923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49212646484375 × 213)
    floor (0.49212646484375 × 8192)
    floor (4031.5)     		tx = 4031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21221923828125 × 213)
    floor (0.21221923828125 × 8192)
    floor (1738.5)     		ty = 1738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4031 / 1738 ti = "13/4031/1738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4031/1738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4031 ÷ 213
    4031 ÷ 8192     		x = 0.4920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1738 ÷ 213
    1738 ÷ 8192     		y = 0.212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212158203125 × 2 - 1) × π
    0.57568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80856334886548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04985438} λ = -0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80856334886548))-π/2
    2×atan(6.10167515385531)-π/2
    2×1.40835104657508-π/2
    2.81670209315017-1.57079632675     		φ = 1.24590577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24590577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.385142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4031 KachelY 1738 -0.04985438 1.24590577 -2.856446 71.385142
    Oben rechts KachelX + 1 4032 KachelY 1738 -0.04908739 1.24590577 -2.812500 71.385142
    Unten links KachelX 4031 KachelY + 1 1739 -0.04985438 1.24566085 -2.856446 71.371109
    Unten rechts KachelX + 1 4032 KachelY + 1 1739 -0.04908739 1.24566085 -2.812500 71.371109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24590577-1.24566085) × R
    0.000244920000000093 × 6371000     		dl = 1560.38532000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24590577-1.24566085) × R
    0.000244920000000093 × 6371000     		dr = 1560.38532000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04985438--0.04908739) × cos(1.24590577) × R
    0.000766989999999995 × 0.31920507001208 × 6371000     		do = 1559.793432748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04985438--0.04908739) × cos(1.24566085) × R
    0.000766989999999995 × 0.319437167609414 × 6371000     		du = 1560.9275761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24590577)-sin(1.24566085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31920507001208-0.319437167609414)×R²
    abs(-0.04908739--0.04985438)×0.000232097597334002×R²
    0.000766989999999995×0.000232097597334002×6371000²
    0.000766989999999995×0.000232097597334002×40589641000000     		ar = 2434763.63718261m²