Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4030 / 4721
↖ ↑ ↗
← S 26.470573°
W  2.900391°		 ← 4 374.21 m → S 26.470573°
W  2.856446°		 →
↑
4 373.50 m
↓
↑
4 373.50 m
↓
S 26.509905°
W  2.900391°		 ← 4 372.71 m →
19 127 338 m²		 S 26.509905°
W  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49200439453125 y=0.57635498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49200439453125 × 213)
    floor (0.49200439453125 × 8192)
    floor (4030.5)     		tx = 4030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57635498046875 × 213)
    floor (0.57635498046875 × 8192)
    floor (4721.5)     		ty = 4721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4030 / 4721 ti = "13/4030/4721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4030/4721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4030 ÷ 213
    4030 ÷ 8192     		x = 0.491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4721 ÷ 213
    4721 ÷ 8192     		y = 0.5762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491943359375 × 2 - 1) × π
    -0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.479368996200562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05062137} λ = -0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479368996200562))-π/2
    2×atan(0.619173969692505)-π/2
    2×0.554398836338565-π/2
    1.10879767267713-1.57079632675     		φ = -0.46199865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46199865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.470573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4030 KachelY 4721 -0.05062137 -0.46199865 -2.900391 -26.470573
    Oben rechts KachelX + 1 4031 KachelY 4721 -0.04985438 -0.46199865 -2.856446 -26.470573
    Unten links KachelX 4030 KachelY + 1 4722 -0.05062137 -0.46268512 -2.900391 -26.509905
    Unten rechts KachelX + 1 4031 KachelY + 1 4722 -0.04985438 -0.46268512 -2.856446 -26.509905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46199865--0.46268512) × R
    0.000686469999999995 × 6371000     		dl = 4373.50036999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46199865--0.46268512) × R
    0.000686469999999995 × 6371000     		dr = 4373.50036999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05062137--0.04985438) × cos(-0.46199865) × R
    0.000766990000000002 × 0.895163411546397 × 6371000     		do = 4374.21000397499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05062137--0.04985438) × cos(-0.46268512) × R
    0.000766990000000002 × 0.894857214808168 × 6371000     		du = 4372.71377566821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46199865)-sin(-0.46268512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895163411546397-0.894857214808168)×R²
    abs(-0.04985438--0.05062137)×0.000306196738229403×R²
    0.000766990000000002×0.000306196738229403×6371000²
    0.000766990000000002×0.000306196738229403×40589641000000     		ar = 19127337.9444484m²