Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40277 / 9548
↖ ↑ ↗
← N 77.678812°
E 41.248169°		 ← 130.34 m → N 77.678812°
E 41.253662°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
N 77.677640°
E 41.248169°		 ← 130.35 m →
16 990 m²		 N 77.677640°
E 41.253662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614585876464844 y=0.145698547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614585876464844 × 216)
    floor (0.614585876464844 × 65536)
    floor (40277.5)     		tx = 40277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145698547363281 × 216)
    floor (0.145698547363281 × 65536)
    floor (9548.5)     		ty = 9548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40277 / 9548 ti = "16/40277/9548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40277/9548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40277 ÷ 216
    40277 ÷ 65536     		x = 0.614578247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9548 ÷ 216
    9548 ÷ 65536     		y = 0.14569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614578247070312 × 2 - 1) × π
    0.229156494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71991636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14569091796875 × 2 - 1) × π
    0.7086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22618961835541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71991636} λ = 0.71991636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22618961835541))-π/2
    2×atan(9.26449746722572)-π/2
    2×1.46327367667001-π/2
    2.92654735334003-1.57079632675     		φ = 1.35575103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71991636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.248169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35575103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.678812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40277 KachelY 9548 0.71991636 1.35575103 41.248169 77.678812
    Oben rechts KachelX + 1 40278 KachelY 9548 0.72001223 1.35575103 41.253662 77.678812
    Unten links KachelX 40277 KachelY + 1 9549 0.71991636 1.35573057 41.248169 77.677640
    Unten rechts KachelX + 1 40278 KachelY + 1 9549 0.72001223 1.35573057 41.253662 77.677640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35575103-1.35573057) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35575103-1.35573057) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71991636-0.72001223) × cos(1.35575103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213391681981241 × 6371000     		do = 130.337029573869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71991636-0.72001223) × cos(1.35573057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213411670675856 × 6371000     		du = 130.349238424078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35575103)-sin(1.35573057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213391681981241-0.213411670675856)×R²
    abs(0.72001223-0.71991636)×1.99886946149197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99886946149197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99886946149197e-05×40589641000000     		ar = 16990.3135441273m²