Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40276 / 9537
↖ ↑ ↗
← N 77.691700°
E 41.242676°		 ← 130.22 m → N 77.691700°
E 41.248169°		 →
↑
130.22 m
↓
↑
130.22 m
↓
N 77.690529°
E 41.242676°		 ← 130.23 m →
16 958 m²		 N 77.690529°
E 41.248169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614570617675781 y=0.145530700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614570617675781 × 216)
    floor (0.614570617675781 × 65536)
    floor (40276.5)     		tx = 40276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145530700683594 × 216)
    floor (0.145530700683594 × 65536)
    floor (9537.5)     		ty = 9537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40276 / 9537 ti = "16/40276/9537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40276/9537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40276 ÷ 216
    40276 ÷ 65536     		x = 0.61456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9537 ÷ 216
    9537 ÷ 65536     		y = 0.145523071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61456298828125 × 2 - 1) × π
    0.2291259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71982048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145523071289062 × 2 - 1) × π
    0.708953857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22724423014705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71982048} λ = 0.71982048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22724423014705))-π/2
    2×atan(9.27427306932486)-π/2
    2×1.46338614141555-π/2
    2.9267722828311-1.57079632675     		φ = 1.35597596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71982048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.242676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35597596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.691700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40276 KachelY 9537 0.71982048 1.35597596 41.242676 77.691700
    Oben rechts KachelX + 1 40277 KachelY 9537 0.71991636 1.35597596 41.248169 77.691700
    Unten links KachelX 40276 KachelY + 1 9538 0.71982048 1.35595552 41.242676 77.690529
    Unten rechts KachelX + 1 40277 KachelY + 1 9538 0.71991636 1.35595552 41.248169 77.690529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35597596-1.35595552) × R
    2.04400000001215e-05 × 6371000     		dl = 130.223240000774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35597596-1.35595552) × R
    2.04400000001215e-05 × 6371000     		dr = 130.223240000774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71982048-0.71991636) × cos(1.35597596) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.213171927458567 × 6371000     		do = 130.216387382584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71982048-0.71991636) × cos(1.35595552) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.213191897594559 × 6371000     		du = 130.22858616971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35597596)-sin(1.35595552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213171927458567-0.213191897594559)×R²
    abs(0.71991636-0.71982048)×1.99701359915316e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.99701359915316e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.99701359915316e-05×40589641000000     		ar = 16957.9941494221m²