Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40275 / 9535
↖ ↑ ↗
← N 77.694041°
E 41.237183°		 ← 130.18 m → N 77.694041°
E 41.242676°		 →
↑
130.22 m
↓
↑
130.22 m
↓
N 77.692870°
E 41.237183°		 ← 130.19 m →
16 953 m²		 N 77.692870°
E 41.242676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614555358886719 y=0.145500183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614555358886719 × 216)
    floor (0.614555358886719 × 65536)
    floor (40275.5)     		tx = 40275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145500183105469 × 216)
    floor (0.145500183105469 × 65536)
    floor (9535.5)     		ty = 9535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40275 / 9535 ti = "16/40275/9535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40275/9535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40275 ÷ 216
    40275 ÷ 65536     		x = 0.614547729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9535 ÷ 216
    9535 ÷ 65536     		y = 0.145492553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614547729492188 × 2 - 1) × π
    0.229095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71972461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145492553710938 × 2 - 1) × π
    0.709014892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22743597774553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71972461} λ = 0.71972461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22743597774553))-π/2
    2×atan(9.27605155941871)-π/2
    2×1.46340657710422-π/2
    2.92681315420844-1.57079632675     		φ = 1.35601683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71972461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.237183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35601683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.694041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40275 KachelY 9535 0.71972461 1.35601683 41.237183 77.694041
    Oben rechts KachelX + 1 40276 KachelY 9535 0.71982048 1.35601683 41.242676 77.694041
    Unten links KachelX 40275 KachelY + 1 9536 0.71972461 1.35599639 41.237183 77.692870
    Unten rechts KachelX + 1 40276 KachelY + 1 9536 0.71982048 1.35599639 41.242676 77.692870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35601683-1.35599639) × R
    2.04399999998994e-05 × 6371000     		dl = 130.223239999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35601683-1.35599639) × R
    2.04399999998994e-05 × 6371000     		dr = 130.223239999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71972461-0.71982048) × cos(1.35601683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213131996689642 × 6371000     		do = 130.178416973711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71972461-0.71982048) × cos(1.35599639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213151967003705 × 6371000     		du = 130.190614597304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35601683)-sin(1.35599639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213131996689642-0.213151967003705)×R²
    abs(0.71982048-0.71972461)×1.99703140631446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99703140631446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99703140631446e-05×40589641000000     		ar = 16953.0494439009m²