Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40274 / 9534
↖ ↑ ↗
← N 77.695212°
E 41.231690°		 ← 130.17 m → N 77.695212°
E 41.237183°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
N 77.694041°
E 41.231690°		 ← 130.18 m →
16 943 m²		 N 77.694041°
E 41.237183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614540100097656 y=0.145484924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614540100097656 × 216)
    floor (0.614540100097656 × 65536)
    floor (40274.5)     		tx = 40274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145484924316406 × 216)
    floor (0.145484924316406 × 65536)
    floor (9534.5)     		ty = 9534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40274 / 9534 ti = "16/40274/9534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40274/9534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40274 ÷ 216
    40274 ÷ 65536     		x = 0.614532470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9534 ÷ 216
    9534 ÷ 65536     		y = 0.145477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614532470703125 × 2 - 1) × π
    0.22906494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71962874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145477294921875 × 2 - 1) × π
    0.70904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22753185154477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71962874} λ = 0.71962874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22753185154477))-π/2
    2×atan(9.27694093235676)-π/2
    2×1.46341679351297-π/2
    2.92683358702594-1.57079632675     		φ = 1.35603726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71962874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.231690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35603726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.695212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40274 KachelY 9534 0.71962874 1.35603726 41.231690 77.695212
    Oben rechts KachelX + 1 40275 KachelY 9534 0.71972461 1.35603726 41.237183 77.695212
    Unten links KachelX 40274 KachelY + 1 9535 0.71962874 1.35601683 41.231690 77.694041
    Unten rechts KachelX + 1 40275 KachelY + 1 9535 0.71972461 1.35601683 41.237183 77.694041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35603726-1.35601683) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dl = 130.159529999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35603726-1.35601683) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dr = 130.159529999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71962874-0.71972461) × cos(1.35603726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213112036056811 × 6371000     		do = 130.166225263296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71962874-0.71972461) × cos(1.35601683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213131996689642 × 6371000     		du = 130.178416973711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35603726)-sin(1.35601683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213112036056811-0.213131996689642)×R²
    abs(0.71972461-0.71962874)×1.99606328306623e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99606328306623e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99606328306623e-05×40589641000000     		ar = 16943.1681363352m²