Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40273 / 9545
↖ ↑ ↗
← N 77.682328°
E 41.226196°		 ← 130.31 m → N 77.682328°
E 41.231690°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
N 77.681156°
E 41.226196°		 ← 130.33 m →
16 979 m²		 N 77.681156°
E 41.231690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614524841308594 y=0.145652770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614524841308594 × 216)
    floor (0.614524841308594 × 65536)
    floor (40273.5)     		tx = 40273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145652770996094 × 216)
    floor (0.145652770996094 × 65536)
    floor (9545.5)     		ty = 9545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40273 / 9545 ti = "16/40273/9545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40273/9545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40273 ÷ 216
    40273 ÷ 65536     		x = 0.614517211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9545 ÷ 216
    9545 ÷ 65536     		y = 0.145645141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614517211914062 × 2 - 1) × π
    0.229034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71953286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145645141601562 × 2 - 1) × π
    0.708709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22647723975313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71953286} λ = 0.71953286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22647723975313))-π/2
    2×atan(9.26716251818088)-π/2
    2×1.46330436036619-π/2
    2.92660872073238-1.57079632675     		φ = 1.35581239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71953286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.226196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35581239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.682328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40273 KachelY 9545 0.71953286 1.35581239 41.226196 77.682328
    Oben rechts KachelX + 1 40274 KachelY 9545 0.71962874 1.35581239 41.231690 77.682328
    Unten links KachelX 40273 KachelY + 1 9546 0.71953286 1.35579194 41.226196 77.681156
    Unten rechts KachelX + 1 40274 KachelY + 1 9546 0.71962874 1.35579194 41.231690 77.681156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35581239-1.35579194) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35581239-1.35579194) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71953286-0.71962874) × cos(1.35581239) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.213331734901057 × 6371000     		do = 130.314005995193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71953286-0.71962874) × cos(1.35579194) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21335171409379 × 6371000     		du = 130.326210314643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35581239)-sin(1.35579194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213331734901057-0.21335171409379)×R²
    abs(0.71962874-0.71953286)×1.9979192732722e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9979192732722e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9979192732722e-05×40589641000000     		ar = 16979.0094156837m²