Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40272 / 9509
↖ ↑ ↗
← N 77.724444°
E 41.220703°		 ← 129.86 m → N 77.724444°
E 41.226196°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
N 77.723276°
E 41.220703°		 ← 129.87 m →
16 870 m²		 N 77.723276°
E 41.226196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614509582519531 y=0.145103454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614509582519531 × 216)
    floor (0.614509582519531 × 65536)
    floor (40272.5)     		tx = 40272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145103454589844 × 216)
    floor (0.145103454589844 × 65536)
    floor (9509.5)     		ty = 9509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40272 / 9509 ti = "16/40272/9509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40272/9509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40272 ÷ 216
    40272 ÷ 65536     		x = 0.614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9509 ÷ 216
    9509 ÷ 65536     		y = 0.145095825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614501953125 × 2 - 1) × π
    0.22900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71943699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145095825195312 × 2 - 1) × π
    0.709808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22992869652577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71943699} λ = 0.71943699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22992869652577))-π/2
    2×atan(9.29920299036283)-π/2
    2×1.46367189294814-π/2
    2.92734378589628-1.57079632675     		φ = 1.35654746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71943699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.220703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35654746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.724444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40272 KachelY 9509 0.71943699 1.35654746 41.220703 77.724444
    Oben rechts KachelX + 1 40273 KachelY 9509 0.71953286 1.35654746 41.226196 77.724444
    Unten links KachelX 40272 KachelY + 1 9510 0.71943699 1.35652707 41.220703 77.723276
    Unten rechts KachelX + 1 40273 KachelY + 1 9510 0.71953286 1.35652707 41.226196 77.723276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35654746-1.35652707) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35654746-1.35652707) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71943699-0.71953286) × cos(1.35654746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212613528774074 × 6371000     		do = 129.861743111744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71943699-0.71953286) × cos(1.35652707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212633452540478 × 6371000     		du = 129.873912304597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35654746)-sin(1.35652707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212613528774074-0.212633452540478)×R²
    abs(0.71953286-0.71943699)×1.99237664044727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99237664044727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99237664044727e-05×40589641000000     		ar = 16870.4398998602m²