Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40269 / 9549
↖ ↑ ↗
← N 77.677640°
E 41.204224°		 ← 130.35 m → N 77.677640°
E 41.209717°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
N 77.676468°
E 41.204224°		 ← 130.36 m →
16 992 m²		 N 77.676468°
E 41.209717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614463806152344 y=0.145713806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614463806152344 × 216)
    floor (0.614463806152344 × 65536)
    floor (40269.5)     		tx = 40269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145713806152344 × 216)
    floor (0.145713806152344 × 65536)
    floor (9549.5)     		ty = 9549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40269 / 9549 ti = "16/40269/9549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40269/9549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40269 ÷ 216
    40269 ÷ 65536     		x = 0.614456176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9549 ÷ 216
    9549 ÷ 65536     		y = 0.145706176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614456176757812 × 2 - 1) × π
    0.228912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71914937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145706176757812 × 2 - 1) × π
    0.708587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22609374455617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71914937} λ = 0.71914937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22609374455617))-π/2
    2×atan(9.26360928723275)-π/2
    2×1.46326344685513-π/2
    2.92652689371026-1.57079632675     		φ = 1.35573057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71914937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.204224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35573057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.677640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40269 KachelY 9549 0.71914937 1.35573057 41.204224 77.677640
    Oben rechts KachelX + 1 40270 KachelY 9549 0.71924524 1.35573057 41.209717 77.677640
    Unten links KachelX 40269 KachelY + 1 9550 0.71914937 1.35571011 41.204224 77.676468
    Unten rechts KachelX + 1 40270 KachelY + 1 9550 0.71924524 1.35571011 41.209717 77.676468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35573057-1.35571011) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35573057-1.35571011) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71914937-0.71924524) × cos(1.35573057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213411670675856 × 6371000     		do = 130.349238424078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71914937-0.71924524) × cos(1.35571011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213431659281135 × 6371000     		du = 130.361447219721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35573057)-sin(1.35571011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213411670675856-0.213431659281135)×R²
    abs(0.71924524-0.71914937)×1.99886052783538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99886052783538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99886052783538e-05×40589641000000     		ar = 16991.9049717073m²