Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40268 / 9557
N 77.668258°
E 41.198730°
← 130.46 m → N 77.668258°
E 41.204224°

130.48 m

130.48 m
N 77.667084°
E 41.198730°
← 130.47 m →
17 023 m²
N 77.667084°
E 41.204224°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614448547363281 y=0.145835876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614448547363281 × 216)
    floor (0.614448547363281 × 65536)
    floor (40268.5)
    tx = 40268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145835876464844 × 216)
    floor (0.145835876464844 × 65536)
    floor (9557.5)
    ty = 9557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40268 / 9557 ti = "16/40268/9557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40268/9557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40268 ÷ 216
    40268 ÷ 65536
    x = 0.61444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9557 ÷ 216
    9557 ÷ 65536
    y = 0.145828247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.61444091796875 × 2 - 1) × π
    0.2288818359375 × 3.1415926535
    Λ = 0.71905349
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.145828247070312 × 2 - 1) × π
    0.708343505859375 × 3.1415926535
    Φ = 2.22532675416225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71905349} λ = 0.71905349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22532675416225))-π/2
    2×atan(9.25650691197139)-π/2
    2×1.46318157383291-π/2
    2.92636314766583-1.57079632675
    φ = 1.35556682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71905349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.198730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35556682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.668258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40268 KachelY 9557 0.71905349 1.35556682 41.198730 77.668258
    Oben rechts KachelX + 1 40269 KachelY 9557 0.71914937 1.35556682 41.204224 77.668258
    Unten links KachelX 40268 KachelY + 1 9558 0.71905349 1.35554634 41.198730 77.667084
    Unten rechts KachelX + 1 40269 KachelY + 1 9558 0.71914937 1.35554634 41.204224 77.667084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.35556682-1.35554634) × R
    2.04799999998784e-05 × 6371000
    dl = 130.478079999225m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.35556682-1.35554634) × R
    2.04799999998784e-05 × 6371000
    dr = 130.478079999225m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.71905349-0.71914937) × cos(1.35556682) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.213571645400874 × 6371000
    do = 130.460555679225m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.71905349-0.71914937) × cos(1.35554634) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.213591652829313 × 6371000
    du = 130.472777246498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.35556682)-sin(1.35554634))×
    abs(λ12)×abs(0.213571645400874-0.213591652829313)×
    abs(0.71914937-0.71905349)×2.00074284389118e-05×
    9.58800000000481e-05×2.00074284389118e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.00074284389118e-05×40589641000000
    ar = 17023.0401442172m²