Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40268 / 9532
↖ ↑ ↗
← N 77.697553°
E 41.198730°		 ← 130.16 m → N 77.697553°
E 41.204224°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
N 77.696382°
E 41.198730°		 ← 130.17 m →
16 942 m²		 N 77.696382°
E 41.204224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614448547363281 y=0.145454406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614448547363281 × 216)
    floor (0.614448547363281 × 65536)
    floor (40268.5)     		tx = 40268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145454406738281 × 216)
    floor (0.145454406738281 × 65536)
    floor (9532.5)     		ty = 9532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40268 / 9532 ti = "16/40268/9532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40268/9532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40268 ÷ 216
    40268 ÷ 65536     		x = 0.61444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9532 ÷ 216
    9532 ÷ 65536     		y = 0.14544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61444091796875 × 2 - 1) × π
    0.2288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71905349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14544677734375 × 2 - 1) × π
    0.7091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22772359914325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71905349} λ = 0.71905349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22772359914325))-π/2
    2×atan(9.27871993405598)-π/2
    2×1.46343722345974-π/2
    2.92687444691949-1.57079632675     		φ = 1.35607812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71905349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.198730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35607812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.697553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40268 KachelY 9532 0.71905349 1.35607812 41.198730 77.697553
    Oben rechts KachelX + 1 40269 KachelY 9532 0.71914937 1.35607812 41.204224 77.697553
    Unten links KachelX 40268 KachelY + 1 9533 0.71905349 1.35605769 41.198730 77.696382
    Unten rechts KachelX + 1 40269 KachelY + 1 9533 0.71914937 1.35605769 41.204224 77.696382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35607812-1.35605769) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dl = 130.159529999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35607812-1.35605769) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dr = 130.159529999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71905349-0.71914937) × cos(1.35607812) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.213072114524309 × 6371000     		do = 130.155416503969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71905349-0.71914937) × cos(1.35605769) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21309207533503 × 6371000     		du = 130.16760959474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35607812)-sin(1.35605769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213072114524309-0.21309207533503)×R²
    abs(0.71914937-0.71905349)×1.99608107218363e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.99608107218363e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.99608107218363e-05×40589641000000     		ar = 16941.7613633522m²