Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40268 / 9500
↖ ↑ ↗
← N 77.734951°
E 41.198730°		 ← 129.77 m → N 77.734951°
E 41.204224°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 77.733784°
E 41.198730°		 ← 129.78 m →
16 841 m²		 N 77.733784°
E 41.204224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614448547363281 y=0.144966125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614448547363281 × 216)
    floor (0.614448547363281 × 65536)
    floor (40268.5)     		tx = 40268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144966125488281 × 216)
    floor (0.144966125488281 × 65536)
    floor (9500.5)     		ty = 9500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40268 / 9500 ti = "16/40268/9500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40268/9500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40268 ÷ 216
    40268 ÷ 65536     		x = 0.61444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9500 ÷ 216
    9500 ÷ 65536     		y = 0.14495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61444091796875 × 2 - 1) × π
    0.2288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71905349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14495849609375 × 2 - 1) × π
    0.7100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23079156071893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71905349} λ = 0.71905349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23079156071893))-π/2
    2×atan(9.30723040243331)-π/2
    2×1.46376358258964-π/2
    2.92752716517927-1.57079632675     		φ = 1.35673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71905349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.198730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.734951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40268 KachelY 9500 0.71905349 1.35673084 41.198730 77.734951
    Oben rechts KachelX + 1 40269 KachelY 9500 0.71914937 1.35673084 41.204224 77.734951
    Unten links KachelX 40268 KachelY + 1 9501 0.71905349 1.35671047 41.198730 77.733784
    Unten rechts KachelX + 1 40269 KachelY + 1 9501 0.71914937 1.35671047 41.204224 77.733784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35673084-1.35671047) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dl = 129.777270000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35673084-1.35671047) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dr = 129.777270000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71905349-0.71914937) × cos(1.35673084) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21243433793247 × 6371000     		do = 129.765829728935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71905349-0.71914937) × cos(1.35671047) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.212454242950144 × 6371000     		du = 129.77798873844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35673084)-sin(1.35671047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21243433793247-0.212454242950144)×R²
    abs(0.71914937-0.71905349)×1.99050176736826e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.99050176736826e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.99050176736826e-05×40589641000000     		ar = 16841.4441035037m²