Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40266 / 9521
↖ ↑ ↗
← N 77.710421°
E 41.187744°		 ← 130.01 m → N 77.710421°
E 41.193237°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
N 77.709252°
E 41.187744°		 ← 130.02 m →
16 906 m²		 N 77.709252°
E 41.193237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614418029785156 y=0.145286560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614418029785156 × 216)
    floor (0.614418029785156 × 65536)
    floor (40266.5)     		tx = 40266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145286560058594 × 216)
    floor (0.145286560058594 × 65536)
    floor (9521.5)     		ty = 9521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40266 / 9521 ti = "16/40266/9521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40266/9521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40266 ÷ 216
    40266 ÷ 65536     		x = 0.614410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9521 ÷ 216
    9521 ÷ 65536     		y = 0.145278930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614410400390625 × 2 - 1) × π
    0.22882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71886175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145278930664062 × 2 - 1) × π
    0.709442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22877821093489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71886175} λ = 0.71886175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22877821093489))-π/2
    2×atan(9.28851054324829)-π/2
    2×1.46354951977629-π/2
    2.92709903955258-1.57079632675     		φ = 1.35630271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71886175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.187744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35630271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.710421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40266 KachelY 9521 0.71886175 1.35630271 41.187744 77.710421
    Oben rechts KachelX + 1 40267 KachelY 9521 0.71895762 1.35630271 41.193237 77.710421
    Unten links KachelX 40266 KachelY + 1 9522 0.71886175 1.35628230 41.187744 77.709252
    Unten rechts KachelX + 1 40267 KachelY + 1 9522 0.71895762 1.35628230 41.193237 77.709252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35630271-1.35628230) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dl = 130.032110000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35630271-1.35628230) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dr = 130.032110000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71886175-0.71895762) × cos(1.35630271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212852676530422 × 6371000     		do = 130.007811636545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71886175-0.71895762) × cos(1.35628230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212872618776742 × 6371000     		du = 130.019992116703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35630271)-sin(1.35628230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212852676530422-0.212872618776742)×R²
    abs(0.71895762-0.71886175)×1.99422463196541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99422463196541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99422463196541e-05×40589641000000     		ar = 16905.9819910041m²