Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40265 / 9529
↖ ↑ ↗
← N 77.701064°
E 41.182251°		 ← 130.12 m → N 77.701064°
E 41.187744°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
N 77.699894°
E 41.182251°		 ← 130.13 m →
16 937 m²		 N 77.699894°
E 41.187744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614402770996094 y=0.145408630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614402770996094 × 216)
    floor (0.614402770996094 × 65536)
    floor (40265.5)     		tx = 40265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145408630371094 × 216)
    floor (0.145408630371094 × 65536)
    floor (9529.5)     		ty = 9529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40265 / 9529 ti = "16/40265/9529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40265/9529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40265 ÷ 216
    40265 ÷ 65536     		x = 0.614395141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9529 ÷ 216
    9529 ÷ 65536     		y = 0.145401000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614395141601562 × 2 - 1) × π
    0.228790283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71876587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145401000976562 × 2 - 1) × π
    0.709197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22801122054097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71876587} λ = 0.71876587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22801122054097))-π/2
    2×atan(9.28138907628528)-π/2
    2×1.46346786120435-π/2
    2.92693572240869-1.57079632675     		φ = 1.35613940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71876587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.182251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35613940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.701064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40265 KachelY 9529 0.71876587 1.35613940 41.182251 77.701064
    Oben rechts KachelX + 1 40266 KachelY 9529 0.71886175 1.35613940 41.187744 77.701064
    Unten links KachelX 40265 KachelY + 1 9530 0.71876587 1.35611897 41.182251 77.699894
    Unten rechts KachelX + 1 40266 KachelY + 1 9530 0.71886175 1.35611897 41.187744 77.699894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35613940-1.35611897) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dl = 130.159529999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35613940-1.35611897) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dr = 130.159529999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71876587-0.71886175) × cos(1.35613940) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.213012241329073 × 6371000     		do = 130.118842873896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71876587-0.71886175) × cos(1.35611897) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.213032202406526 × 6371000     		du = 130.1310361276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35613940)-sin(1.35611897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213012241329073-0.213032202406526)×R²
    abs(0.71886175-0.71876587)×1.99610774525849e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.99610774525849e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.99610774525849e-05×40589641000000     		ar = 16937.0009674821m²