Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40263 / 9560
↖ ↑ ↗
← N 77.664737°
E 41.171265°		 ← 130.48 m → N 77.664737°
E 41.176758°		 →
↑
130.48 m
↓
↑
130.48 m
↓
N 77.663564°
E 41.171265°		 ← 130.50 m →
17 026 m²		 N 77.663564°
E 41.176758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614372253417969 y=0.145881652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614372253417969 × 216)
    floor (0.614372253417969 × 65536)
    floor (40263.5)     		tx = 40263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145881652832031 × 216)
    floor (0.145881652832031 × 65536)
    floor (9560.5)     		ty = 9560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40263 / 9560 ti = "16/40263/9560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40263/9560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40263 ÷ 216
    40263 ÷ 65536     		x = 0.614364624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9560 ÷ 216
    9560 ÷ 65536     		y = 0.1458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614364624023438 × 2 - 1) × π
    0.228729248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71857413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1458740234375 × 2 - 1) × π
    0.708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22503913276453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71857413} λ = 0.71857413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22503913276453))-π/2
    2×atan(9.25384492535587)-π/2
    2×1.46315085563-π/2
    2.92630171125999-1.57079632675     		φ = 1.35550538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71857413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.171265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35550538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.664737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40263 KachelY 9560 0.71857413 1.35550538 41.171265 77.664737
    Oben rechts KachelX + 1 40264 KachelY 9560 0.71867000 1.35550538 41.176758 77.664737
    Unten links KachelX 40263 KachelY + 1 9561 0.71857413 1.35548490 41.171265 77.663564
    Unten rechts KachelX + 1 40264 KachelY + 1 9561 0.71867000 1.35548490 41.176758 77.663564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35550538-1.35548490) × R
    2.04800000001004e-05 × 6371000     		dl = 130.47808000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35550538-1.35548490) × R
    2.04800000001004e-05 × 6371000     		dr = 130.47808000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71857413-0.71867000) × cos(1.35550538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213631667417422 × 6371000     		do = 130.483609743266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71857413-0.71867000) × cos(1.35548490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213651674577076 × 6371000     		du = 130.495829871695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35550538)-sin(1.35548490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213631667417422-0.213651674577076)×R²
    abs(0.71867000-0.71857413)×2.00071596534734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00071596534734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00071596534734e-05×40589641000000     		ar = 17026.0481007973m²