Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40261 / 9553
↖ ↑ ↗
← N 77.672950°
E 41.160278°		 ← 130.40 m → N 77.672950°
E 41.165771°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
N 77.671777°
E 41.160278°		 ← 130.41 m →
17 007 m²		 N 77.671777°
E 41.165771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614341735839844 y=0.145774841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614341735839844 × 216)
    floor (0.614341735839844 × 65536)
    floor (40261.5)     		tx = 40261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145774841308594 × 216)
    floor (0.145774841308594 × 65536)
    floor (9553.5)     		ty = 9553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40261 / 9553 ti = "16/40261/9553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40261/9553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40261 ÷ 216
    40261 ÷ 65536     		x = 0.614334106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9553 ÷ 216
    9553 ÷ 65536     		y = 0.145767211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614334106445312 × 2 - 1) × π
    0.228668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71838238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145767211914062 × 2 - 1) × π
    0.708465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22571024935921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71838238} λ = 0.71838238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22571024935921))-π/2
    2×atan(9.26005741867038)-π/2
    2×1.46322251801253-π/2
    2.92644503602506-1.57079632675     		φ = 1.35564871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71838238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.160278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35564871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.672950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40261 KachelY 9553 0.71838238 1.35564871 41.160278 77.672950
    Oben rechts KachelX + 1 40262 KachelY 9553 0.71847825 1.35564871 41.165771 77.672950
    Unten links KachelX 40261 KachelY + 1 9554 0.71838238 1.35562824 41.160278 77.671777
    Unten rechts KachelX + 1 40262 KachelY + 1 9554 0.71847825 1.35562824 41.165771 77.671777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35564871-1.35562824) × R
    2.04700000001612e-05 × 6371000     		dl = 130.414370001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35564871-1.35562824) × R
    2.04700000001612e-05 × 6371000     		dr = 130.414370001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71838238-0.71847825) × cos(1.35564871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213491644099764 × 6371000     		do = 130.398085213326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71838238-0.71847825) × cos(1.35562824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21351164211693 × 6371000     		du = 130.410299757635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35564871)-sin(1.35562824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213491644099764-0.21351164211693)×R²
    abs(0.71847825-0.71838238)×1.99980171662617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99980171662617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99980171662617e-05×40589641000000     		ar = 17006.5806088043m²