Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40260 / 9554
↖ ↑ ↗
← N 77.671777°
E 41.154785°		 ← 130.42 m → N 77.671777°
E 41.160278°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
N 77.670604°
E 41.154785°		 ← 130.44 m →
17 010 m²		 N 77.670604°
E 41.160278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614326477050781 y=0.145790100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614326477050781 × 216)
    floor (0.614326477050781 × 65536)
    floor (40260.5)     		tx = 40260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145790100097656 × 216)
    floor (0.145790100097656 × 65536)
    floor (9554.5)     		ty = 9554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40260 / 9554 ti = "16/40260/9554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40260/9554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40260 ÷ 216
    40260 ÷ 65536     		x = 0.61431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9554 ÷ 216
    9554 ÷ 65536     		y = 0.145782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61431884765625 × 2 - 1) × π
    0.2286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71828650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145782470703125 × 2 - 1) × π
    0.70843505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22561437555997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71828650} λ = 0.71828650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22561437555997))-π/2
    2×atan(9.25916966434134)-π/2
    2×1.46321228340568-π/2
    2.92642456681137-1.57079632675     		φ = 1.35562824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71828650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.154785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35562824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.671777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40260 KachelY 9554 0.71828650 1.35562824 41.154785 77.671777
    Oben rechts KachelX + 1 40261 KachelY 9554 0.71838238 1.35562824 41.160278 77.671777
    Unten links KachelX 40260 KachelY + 1 9555 0.71828650 1.35560777 41.154785 77.670604
    Unten rechts KachelX + 1 40261 KachelY + 1 9555 0.71838238 1.35560777 41.160278 77.670604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35562824-1.35560777) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35562824-1.35560777) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71828650-0.71838238) × cos(1.35562824) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21351164211693 × 6371000     		do = 130.423902584272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71828650-0.71838238) × cos(1.35560777) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.213531640044631 × 6371000     		du = 130.436118348004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35562824)-sin(1.35560777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21351164211693-0.213531640044631)×R²
    abs(0.71838238-0.71828650)×1.9997927700216e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9997927700216e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9997927700216e-05×40589641000000     		ar = 17009.9476446863m²