Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40257 / 9555
↖ ↑ ↗
← N 77.670604°
E 41.138306°		 ← 130.44 m → N 77.670604°
E 41.143799°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
N 77.669431°
E 41.138306°		 ← 130.45 m →
17 012 m²		 N 77.669431°
E 41.143799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614280700683594 y=0.145805358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614280700683594 × 216)
    floor (0.614280700683594 × 65536)
    floor (40257.5)     		tx = 40257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145805358886719 × 216)
    floor (0.145805358886719 × 65536)
    floor (9555.5)     		ty = 9555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40257 / 9555 ti = "16/40257/9555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40257/9555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40257 ÷ 216
    40257 ÷ 65536     		x = 0.614273071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9555 ÷ 216
    9555 ÷ 65536     		y = 0.145797729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614273071289062 × 2 - 1) × π
    0.228546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71799888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145797729492188 × 2 - 1) × π
    0.708404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22551850176073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71799888} λ = 0.71799888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22551850176073))-π/2
    2×atan(9.2582819951206)-π/2
    2×1.46320204784019-π/2
    2.92640409568038-1.57079632675     		φ = 1.35560777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71799888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.138306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35560777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.670604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40257 KachelY 9555 0.71799888 1.35560777 41.138306 77.670604
    Oben rechts KachelX + 1 40258 KachelY 9555 0.71809476 1.35560777 41.143799 77.670604
    Unten links KachelX 40257 KachelY + 1 9556 0.71799888 1.35558730 41.138306 77.669431
    Unten rechts KachelX + 1 40258 KachelY + 1 9556 0.71809476 1.35558730 41.143799 77.669431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35560777-1.35558730) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35560777-1.35558730) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71799888-0.71809476) × cos(1.35560777) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.213531640044631 × 6371000     		do = 130.436118348155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71799888-0.71809476) × cos(1.35558730) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.213551637882857 × 6371000     		du = 130.448334057232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35560777)-sin(1.35558730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213531640044631-0.213551637882857)×R²
    abs(0.71809476-0.71799888)×1.99978382259824e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.99978382259824e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.99978382259824e-05×40589641000000     		ar = 17011.5407522555m²