Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40252 / 9562
↖ ↑ ↗
← N 77.662391°
E 41.110840°		 ← 130.52 m → N 77.662391°
E 41.116333°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
N 77.661217°
E 41.110840°		 ← 130.53 m →
17 039 m²		 N 77.661217°
E 41.116333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614204406738281 y=0.145912170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614204406738281 × 216)
    floor (0.614204406738281 × 65536)
    floor (40252.5)     		tx = 40252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145912170410156 × 216)
    floor (0.145912170410156 × 65536)
    floor (9562.5)     		ty = 9562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40252 / 9562 ti = "16/40252/9562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40252/9562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40252 ÷ 216
    40252 ÷ 65536     		x = 0.61419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9562 ÷ 216
    9562 ÷ 65536     		y = 0.145904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61419677734375 × 2 - 1) × π
    0.2283935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71751951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145904541015625 × 2 - 1) × π
    0.70819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22484738516605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71751951} λ = 0.71751951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22484738516605))-π/2
    2×atan(9.25207069292256)-π/2
    2×1.46313037203238-π/2
    2.92626074406477-1.57079632675     		φ = 1.35546442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71751951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.110840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35546442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.662391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40252 KachelY 9562 0.71751951 1.35546442 41.110840 77.662391
    Oben rechts KachelX + 1 40253 KachelY 9562 0.71761539 1.35546442 41.116333 77.662391
    Unten links KachelX 40252 KachelY + 1 9563 0.71751951 1.35544393 41.110840 77.661217
    Unten rechts KachelX + 1 40253 KachelY + 1 9563 0.71761539 1.35544393 41.116333 77.661217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35546442-1.35544393) × R
    2.04899999998176e-05 × 6371000     		dl = 130.541789998838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35546442-1.35544393) × R
    2.04899999998176e-05 × 6371000     		dr = 130.541789998838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71751951-0.71761539) × cos(1.35546442) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.213671681647117 × 6371000     		do = 130.521662968145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71751951-0.71761539) × cos(1.35544393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21369169839655 × 6371000     		du = 130.53389022916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35546442)-sin(1.35544393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213671681647117-0.21369169839655)×R²
    abs(0.71761539-0.71751951)×2.00167494323056e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.00167494323056e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.00167494323056e-05×40589641000000     		ar = 17039.3296026444m²