Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40251 / 9546
↖ ↑ ↗
← N 77.681156°
E 41.105347°		 ← 130.31 m → N 77.681156°
E 41.110840°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
N 77.679984°
E 41.105347°		 ← 130.32 m →
16 987 m²		 N 77.679984°
E 41.110840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614189147949219 y=0.145668029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614189147949219 × 216)
    floor (0.614189147949219 × 65536)
    floor (40251.5)     		tx = 40251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145668029785156 × 216)
    floor (0.145668029785156 × 65536)
    floor (9546.5)     		ty = 9546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40251 / 9546 ti = "16/40251/9546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40251/9546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40251 ÷ 216
    40251 ÷ 65536     		x = 0.614181518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9546 ÷ 216
    9546 ÷ 65536     		y = 0.145660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614181518554688 × 2 - 1) × π
    0.228363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71742364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145660400390625 × 2 - 1) × π
    0.70867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22638136595389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71742364} λ = 0.71742364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22638136595389))-π/2
    2×atan(9.26627408269161)-π/2
    2×1.46329413342546-π/2
    2.92658826685091-1.57079632675     		φ = 1.35579194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71742364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.105347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35579194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.681156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40251 KachelY 9546 0.71742364 1.35579194 41.105347 77.681156
    Oben rechts KachelX + 1 40252 KachelY 9546 0.71751951 1.35579194 41.110840 77.681156
    Unten links KachelX 40251 KachelY + 1 9547 0.71742364 1.35577148 41.105347 77.679984
    Unten rechts KachelX + 1 40252 KachelY + 1 9547 0.71751951 1.35577148 41.110840 77.679984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35579194-1.35577148) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35579194-1.35577148) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71742364-0.71751951) × cos(1.35579194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21335171409379 × 6371000     		do = 130.31261767702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71742364-0.71751951) × cos(1.35577148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213371702967009 × 6371000     		du = 130.324826636319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35579194)-sin(1.35577148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21335171409379-0.213371702967009)×R²
    abs(0.71751951-0.71742364)×1.99888732193843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99888732193843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99888732193843e-05×40589641000000     		ar = 16987.1314441458m²