Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40250 / 9538
↖ ↑ ↗
← N 77.690529°
E 41.099854°		 ← 130.22 m → N 77.690529°
E 41.105347°		 →
↑
130.22 m
↓
↑
130.22 m
↓
N 77.689357°
E 41.099854°		 ← 130.23 m →
16 958 m²		 N 77.689357°
E 41.105347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614173889160156 y=0.145545959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614173889160156 × 216)
    floor (0.614173889160156 × 65536)
    floor (40250.5)     		tx = 40250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145545959472656 × 216)
    floor (0.145545959472656 × 65536)
    floor (9538.5)     		ty = 9538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40250 / 9538 ti = "16/40250/9538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40250/9538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40250 ÷ 216
    40250 ÷ 65536     		x = 0.614166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9538 ÷ 216
    9538 ÷ 65536     		y = 0.145538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614166259765625 × 2 - 1) × π
    0.22833251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71732777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145538330078125 × 2 - 1) × π
    0.70892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22714835634781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71732777} λ = 0.71732777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22714835634781))-π/2
    2×atan(9.27338395215272)-π/2
    2×1.46337592213546-π/2
    2.92675184427092-1.57079632675     		φ = 1.35595552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71732777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.099854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35595552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.690529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40250 KachelY 9538 0.71732777 1.35595552 41.099854 77.690529
    Oben rechts KachelX + 1 40251 KachelY 9538 0.71742364 1.35595552 41.105347 77.690529
    Unten links KachelX 40250 KachelY + 1 9539 0.71732777 1.35593508 41.099854 77.689357
    Unten rechts KachelX + 1 40251 KachelY + 1 9539 0.71742364 1.35593508 41.105347 77.689357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35595552-1.35593508) × R
    2.04399999998994e-05 × 6371000     		dl = 130.223239999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35595552-1.35593508) × R
    2.04399999998994e-05 × 6371000     		dr = 130.223239999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71732777-0.71742364) × cos(1.35595552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213191897594559 × 6371000     		do = 130.215003713846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71732777-0.71742364) × cos(1.35593508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21321186764148 × 6371000     		du = 130.227201174272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35595552)-sin(1.35593508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213191897594559-0.21321186764148)×R²
    abs(0.71742364-0.71732777)×1.99700469210862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99700469210862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99700469210862e-05×40589641000000     		ar = 16957.8138769191m²