Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40250 / 9518
↖ ↑ ↗
← N 77.713929°
E 41.099854°		 ← 129.97 m → N 77.713929°
E 41.105347°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
N 77.712759°
E 41.099854°		 ← 129.98 m →
16 901 m²		 N 77.712759°
E 41.105347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614173889160156 y=0.145240783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614173889160156 × 216)
    floor (0.614173889160156 × 65536)
    floor (40250.5)     		tx = 40250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145240783691406 × 216)
    floor (0.145240783691406 × 65536)
    floor (9518.5)     		ty = 9518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40250 / 9518 ti = "16/40250/9518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40250/9518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40250 ÷ 216
    40250 ÷ 65536     		x = 0.614166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9518 ÷ 216
    9518 ÷ 65536     		y = 0.145233154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614166259765625 × 2 - 1) × π
    0.22833251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71732777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145233154296875 × 2 - 1) × π
    0.70953369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22906583233261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71732777} λ = 0.71732777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22906583233261))-π/2
    2×atan(9.2911825018713)-π/2
    2×1.46358012596721-π/2
    2.92716025193442-1.57079632675     		φ = 1.35636393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71732777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.099854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35636393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.713929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40250 KachelY 9518 0.71732777 1.35636393 41.099854 77.713929
    Oben rechts KachelX + 1 40251 KachelY 9518 0.71742364 1.35636393 41.105347 77.713929
    Unten links KachelX 40250 KachelY + 1 9519 0.71732777 1.35634352 41.099854 77.712759
    Unten rechts KachelX + 1 40251 KachelY + 1 9519 0.71742364 1.35634352 41.105347 77.712759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35636393-1.35634352) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dl = 130.032110000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35636393-1.35634352) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dr = 130.032110000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71732777-0.71742364) × cos(1.35636393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212792859030464 × 6371000     		do = 129.971275839139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71732777-0.71742364) × cos(1.35634352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212812801542718 × 6371000     		du = 129.983456481727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35636393)-sin(1.35634352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212792859030464-0.212812801542718)×R²
    abs(0.71742364-0.71732777)×1.99425122542063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99425122542063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99425122542063e-05×40589641000000     		ar = 16901.2311745276m²