Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40242 / 9514
↖ ↑ ↗
← N 77.718603°
E 41.055908°		 ← 129.92 m → N 77.718603°
E 41.061401°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
N 77.717435°
E 41.055908°		 ← 129.93 m →
16 878 m²		 N 77.717435°
E 41.061401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614051818847656 y=0.145179748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614051818847656 × 216)
    floor (0.614051818847656 × 65536)
    floor (40242.5)     		tx = 40242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145179748535156 × 216)
    floor (0.145179748535156 × 65536)
    floor (9514.5)     		ty = 9514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40242 / 9514 ti = "16/40242/9514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40242/9514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40242 ÷ 216
    40242 ÷ 65536     		x = 0.614044189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9514 ÷ 216
    9514 ÷ 65536     		y = 0.145172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614044189453125 × 2 - 1) × π
    0.22808837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71656078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145172119140625 × 2 - 1) × π
    0.70965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22944932752957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71656078} λ = 0.71656078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22944932752957))-π/2
    2×atan(9.29474630904264)-π/2
    2×1.46362092084412-π/2
    2.92724184168825-1.57079632675     		φ = 1.35644551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71656078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.055908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35644551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.718603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40242 KachelY 9514 0.71656078 1.35644551 41.055908 77.718603
    Oben rechts KachelX + 1 40243 KachelY 9514 0.71665665 1.35644551 41.061401 77.718603
    Unten links KachelX 40242 KachelY + 1 9515 0.71656078 1.35642512 41.055908 77.717435
    Unten rechts KachelX + 1 40243 KachelY + 1 9515 0.71665665 1.35642512 41.061401 77.717435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35644551-1.35642512) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35644551-1.35642512) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71656078-0.71665665) × cos(1.35644551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212713146721985 × 6371000     		do = 129.922588536001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71656078-0.71665665) × cos(1.35642512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212733070046293 × 6371000     		du = 129.934757458826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35644551)-sin(1.35642512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212713146721985-0.212733070046293)×R²
    abs(0.71665665-0.71656078)×1.99233243076136e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99233243076136e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99233243076136e-05×40589641000000     		ar = 16878.3439886334m²